第三章随机变量的数字特征

概率论章节习题

第三章 随机变量的数字特征

1．填空题

（1）已知随机变量X的分布密度为

ax2+bx+c0≤x≤1

p(x)=

0其它

且EX=0.5, DX=0.15，则a= ，b= ，

c=。

（2）已知随机变量X的分布密度为p(x)=

1

e x

2

+2x 1

则EX= ，

DX=。

10

（3）设随机变量X的分布律为

11

36

1

1211612

2

，则EX= ，1 4

E( X+1)=EX2=。

（4）设随机变量X服从泊松分布，则X的分布律为 ，

E(X2 3X)=。

（5）设随机变量服从B(n,p)分布，已知EX=1.6，DX=1.28，则参数n= ，

p=

（6）设随机变量X服从N(µ,σ)分布，已知P{X≤ 1.6}=0.036, P{X≤5.9}=

2

0.758，则EX，DX=，

P{X>0}=。

（7）设随机变量X的分布密度为

A

p(x)= x2

0

x<1x≥1

则A= ，EX=

EX2=DX=。

（8）若随机变量X,Y相互独立，EX=0, EY=1, DX=1，则E[X(X+Y 2)]=

。

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3x2

（9）设随机变量X的分布密度为p(x)= A3

0

0<x<A，若P{X>1}=7，则

8其它

A=EX=

2．把10个球掷进四个盒子，设每个球落在每个盒子里的可能性相等，求落在第一个盒子里

的球数的数学期望与方差。

αk

(α>0,常数),k=0,1,2,"；试求EX,DX。 3．设P{X=k}=

(1+α)k+1

4．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的5分钟，25分钟和55分钟从

底层起行，假设一游客在早上8点的第X分钟到达底层电梯处，且X服从[0,60]上的均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。 5．设X服从Γ 分布，其分布密度为

β

(βx)a 1e βx

p(x)= Γ(a)

0

其中a>0, β>0是常数，求EX及DX。 6．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

x>0x≤0

4xye (x

p(x,y)=

0,

2

+y2)

,x>0,y>0

其它

E(X2+Y2)

试求： （1）EX, DX； （2）E(XY), 7．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

ππ

Asin(x+y),0≤x≤,0≤y≤

p(x,y)= 22

0,其它

（2）EX, DX；（3）cov(X,Y), ρXY 。 试求： （1）常数A；

8．设随机变量X的分布密度为p(x)=（1）求E(X)和D(X)；

（2）求X与X的协方差，并问X与X是否相关； （3）X与X是否独立？为什么？

9．设X、Y、Z为随机变量，若E(X)=E(Y)= 1, E(Z)= 1, D(X)=D(Y)=

1 x

e, ∞<x<+∞， 2

D(Z)=1, ρXY=ρXZ=

1

, ρYZ=0，求：（1）E(2X+Y Z)； 2

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（2）D(2X Y+3Z)

10．是非题（对、号；错号），填充题

（1）D(X±Y)=DX+DY； （ ） （2）若X,Y为独立的正态随机变量，则ρXY=0； （ ） （3）若X,Y为正态随机变量，ρXY=0，则X,Y独立； （ ） （4）若a,b为常数，则D(aX+b)=aDX； （ ） （5）若X,Y相互独立，EX=a,EY=b，则E(XY)= ； （ ） （6）设X与Y独立，并有相同分布N(µ,σ)，令U=αX+βY, V=αX βY，则相关

系数ρUV=

（7）设X,Y相互独立，EX=EY=0,DX=DY=1，则E(X+Y+1)=

（8）若P(X=k)=p(1 p)

k 1

2

2

, (k=1,2,")，且EX=2，则p=

2X

（9）若X服从参数为1的指数分布，则E{X+e11．设二维随机变量(X,Y)的分布密度为

}= 。

1

,x2+y2≤1

p(x,y)= π

其它 0,

（1）问X与Y是否相互独立？为什么？ （2）X与Y是否不相关？为什么？

12．设随机变量X与Y相互独立，X~N(0,1), Y~N(0,)，若Z=X 2Y，求EZ与

3

4

DZ。

13．设X,Y是两个相互独立且均服从同一分布的两个随机变量，已知X的分布律为

1

P{X=i}=, i=1,2,3，又设ξ=max(X,Y), η=min(X,Y)

3

（1）写出二维随机变量(ξ,η)的联合分布律； （2）问ξ与η是否相互独立？为什么？ （3）问ξ与η是否不相关？为什么？

14．设X1,X2,",Xn是独立的随机变量,D(Xi)=σi<∞试求“权”

2

α1,α2,",αn，

∑α

i=1

n

i

=1, αi>0，使∑αiXi的方差最小。

i=1

n

15．在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立

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试验中，事件A发生的次数X在400~600之间的概率。

16．用卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X（单位：kg）服从N(20,2.5)分布，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000公斤的概率不大于0.05。

2