东北大学线性代数第二章第三节+线性方程组的解

2 x1 2 x2 x3 x4 1 x1 2 x2 x3 x4 2 x x 2x x 3 2 3 4 1

线性代数讲义12/7/2013 8:57 PM

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§3.3 线性方程组的解(一)线性方程组解的判定条件 (二)线性方程组的解法 (三)重要结论

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第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

(一)线性方程组解的判定条件

设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm

(1)

可以写成以向量 x 为未知元的向量方程Ax b12/7/2013 8:57 PM

(2)

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

以后线性方程组(1)与向量方程(2)将 解与解向量的名称也 混同使用而不加以区分，

不加区别。 称它是相容的； 线性方程组(1)若有解， 若无解， 称它是不相容的。

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第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

【定理1】 n 元线性方程组 Ax b (Ⅰ)无解的充分必要条件是R( A) R( A, b)

(Ⅱ)有唯一解的充分必要条件是R( A) R( A, b) n

(Ⅲ)有无限多解的充分必要条件是R( A) R( A, b) n12/7/2013 8:57 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

不妨设 B ( A, b) 证 设 R( A) r , 的行最简形为 1 0 0 B 0 0 0 12/7/2013 8:57 PM

0 0 b11 b1,n r 1 0 b21 b2,n r 0 0 0 0 0 0 0 1 br 1 br ,n r 0 0 0 0 0 0

d1 d2 dr d r 1 0 0

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

则 (Ⅰ)若 R( A) R( B) , B 中的 d r 1 1 故方程 于是 B 的第 r 1 行对应矛盾方程 0 1,

(2)无解。 则 (Ⅱ)若 R( A) R( B) r n , B 中的 且 d r 1 0 (或 d r 1 不出现), bij 都不出现， 于是 x1 d1 x d 2 对应方程组 2 , 故方程(2)有唯一解 B xn d n 12/7/2013 8:57 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

(Ⅲ)若 R( A) R( B) r n ,则 B 中的 d r 1 0 (或 d r 1 不出现), 于是 B 对应方程组 x1 b11 xr 1 b1,n r xn d1 x b x b 2 21 r 1 2, n r x n d 2 xr br 1 xr 1 br ,n r xn d n

(3)

令未知数 xr 1 c1 , , xn cn r , 即得方程(2)的 含 n r 个参数的解12/7/2013 8:57 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

x1 b11c1 b1,n r cn r d1

xr br 1c1 br ,n r cn r d r c1 x r 1 cn r xn

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矩阵的初等变换与线性方程组

即 x1

b11 b1,n r d1 xr br 1 br ,n r d r c1 cn r (4) x r 1 1 0 0 0 1 0 xn

由于参数 c1 , , cn r 可任意取值， 故方程(2)有

无限多解。 其中任何一个的必要性均为其它条件的12/7/2013 8:57 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

的充分性的逆否命题，略。证毕 由于含 n r 个参 当 R( A) R( B) r n 时，

数的解(4)可表示线性方程组(3)的任一个 解， 从而也可表示线性方程组(1)的任一解，因此解(4)称为线性方程组(1)的通解。 定理的证明过程给出了求解线性方程组的 步骤，现将它归纳如下：12/7/2013 8:57 PM

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矩阵的初等变换与线性方程组

对于非齐次线性方程组， 将它的增广矩阵 从中看出 R( A) 和 R( B )。 B 化成行阶梯形， (1)若 R( A) R( B) ,则方程组无解。

(2)若 R( A) R( B) ,则继续将 B 化成行 最简形。 将行最简形中 r 个 (3)设 R( A) R( B ) r ,非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由12/7/2013 8:57 PM

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

并令自由未知数分别等于 c1 , c2 , , cn r 未知数，即可写成含 n r 个参数的通 由 B 的行最简形，

解(也可能是唯一解)。对于齐次线性方程组，将系数矩阵 A 化成 行最简形即可。

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第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

(二)线性方程组的解法 例1 求解齐次线性方程组 x1 2 x2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4x 3x 0 2 3 4 1

解

对系数矩阵 A 施行初等行变换

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第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

1 2 2 1 2 1 2 2 r2 2r1 A r3 r1 1 1 4 3 1 2 2 r3 r2 0 1 2 r2 ( 3) 0 0 0 1 r 2r 4 2 1 3 0

1 2 2 1 0 3 6 4 0 3 6 4 5 1 0 2 3 4 0 1 2 3 0 0 0 0

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第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

即得与原方程组同解的方程组5 x1 2 x3 3 x4 0 x 2x 4

x 0 3 4 2 3

5 x1 2 x3 3 x4 由此得 ( x3 , x4 取任意实数) x 2 x 4 x 3 4 2 3 12/7/2013 8:57 PM

5 1 0 2 3 4 0 1 2 A 3 0 0 0 0