本科统计学课件-第三讲 概率论

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第三讲概率论

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概率论的产生和发展概率论产生于十七世纪，本来是随保险事业的发展而产生 的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论 中问题的源泉。 早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提 出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局， 谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个 人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌 博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在 1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。 三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学 家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游 戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。 近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国 民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学， 如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作 为基础的。

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第一节

基础概率

一、随机现象与随机试验 随机现象——非确定性现象 随机试验：对随机现象的观察 随机试验须符合的条件： 1、可以在相同的条件下重复进行 2、试验的所有结果是事先已知的，并且不止一个 3 3、每次试验只能出现可能结果的一种，且不能预先判 断是哪一种 如：掷硬币 二、概率的概念 随机事件发生可能性大小的数量表示。 三种情况： 1、不可能事件 概率 P()=0 2、必然事件S 概率 P(S)=1 3、必然与不可能之间E 概率 0≤ P(E) ≤ 1

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三、概率的计算方法1、频率法 频数与频率 随机事件E出现的次数n——频数n n与实验次数N的比值 N ——频率

频率的三种状况： 1) ≤ f (E ) ≤ 1 0 3) f (φ ) = 0 概率是实验或观察次数N趋于无穷时，相应频率的稳 定值。 nP (E ) =

2) f (s ) = 1

lim f (E ) = limN →∞

N→∞

N

频率是一个近似值，概率是一个理论值、唯一的精 确值，比频率完美。

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2、古典法1)样本点Ei :随机实验中的每一种结果 2)样本空间S:样本点的总和 3)随机事件A:基本事件的集合，它是S的子 集 4)古典概型的条件 样本空间只有有限个样本点 每个样本点出现的可能性相同 5)计算A中包含样本点的个数 m P ( A) = = 样本点总数 n

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例：5人中3男2女，随机抽有一女 的概率男生代码 E1 E2 E3 女生代码 F1 F2 样本空间5个 n=5 随机事件样本点：m=2

2 P( A) = 5

再例：100人中，5人超过70岁，任抽一 人，是古稀老人的概率？

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四、概率的运算(一)条件之间的关系 1、包含与相等 A发生必然导致B发生，则B包含A AB 如果存在反向包含关系则 A=B 例：A=人；B=男人；C=女人；A与B? 2、事件和 A与B至少有一个发生才构成事件

C则为和 A+B或 A∪B 例：A=香港人；B=澳门人；C=港澳人士；A+B? 3、事件积 A与B同时发生构成事件C则为事件积 AB或A∩B 例：A=品德好；B=能力强；C=德才兼备；AB?

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(一)条件之间的关系(续)4、互不相容 A发生则导致B不发生 AB= 例：某人来自的省份。 5、对立事件 A与B为互不相容事件，且在一次实验或观察中必有 其一发生。 AB= A+B=S 例：性别 6、相互独立：二者无关系 例：两个妇女同时生孩子，生男生女是否有关？

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(二)概率的运算1、加法 1)条件：A、B互不相容时：A+B(事件和)为A的概率B的概率之和。

推论：n个事件

P( A + B ) = P( A) + P(B )

P A1 + A2 + 2)A与B不满足互不相容时： + An = P推论三个事件：

(

) ( A ) + P( A ) + +( A )1 2 n

P( A + B ) = P( A) + P(B ) P( AB )

n个事件： ) P( A+ B + C) = P( A) + P(B) + P(C) P( AB) P(BC) P( AC) + P( ABCP ( A1 +

A2 + An ) = ∑ P( Ai ) ∑ Pn i =1

(A A ) + ∑ P(A A A )+ (1) P(A A A )n 1 i j i j T 1 2 n

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例：1、湖南某地外出打工：100户中，每户一人广州打工：30 户；深圳打工：20户；上海打工：20户；任抽一户，南 下打工的概率？ 2、某班学生30人，父亲大学文化8人，母亲大学文化6人， 父母均为大学文化的3人，任抽一人，父辈至少一人大学 文化的概率？ 课内练习： 对某班女生调查：不吃早餐的50%,不吃中餐的20%,两餐 都不吃的10%,求下列事件概率： 1、只不吃早餐的 2、中、早至少一餐不吃 3、中、早只有 一餐不吃 4、中、早两餐都吃

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2、乘法简化式：A、B相互独立 P( AB ) = P( A) P(B ) 推论n个事件： P( A1 A2 An ) = P( A1) P( A2 ) P( An ) 例 一般式：A与B不满足相互独立 当一事件已发生条件下另一事件发生的概率——条件 概率PB

( A)

——A发生条件下事件B发生的概率

P( AB ) = P( A) P B

( A)

或

P( AB ) = P(B ) P A

( B)

P ( A1 A2 An ) = P ( A1) P A2 P An An 1 推论： A1 A1 A2

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某城市中，有60%的家庭订阅日报，有 80%的家庭有电视机，假定这两个事件是 独立的，随机抽出一个家庭，发现既订日 报又有电视机的概率？

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A=该家庭订一份日报B=该家庭有电视机 P(A)=0.60 P(B)=0.80 P(AB)=0.60*0.80=0.48

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对同一目标进行3次射击，第一、二、三、 次射击命中的概率分别是：0.3,0.4,0.6,求 在这三次射击中恰有一次命中的概率。

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Ai=第i次射击命中 A=恰有一次命中 P(A) =0.3*0.6*0.4+0.7*0.4*0.4+0.7*0.6*0.6 =0.436

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例：1、某厂一天两班生产350件产品，一班生产 200件，次品9件；二班生产150件，次品4 件。随机抽一件，是次品，问：是一班生 产的概率？解答 2、居民楼20户，无子女家庭2户，访问两户 均为无子女家庭的概率？ 练习：据统计，能活到60

岁的概率为0.8;活 到70岁的概率为0.4, 问现年60岁的人活到 70岁的概率？