第2章信号与噪声分析

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第2章 信号与噪声分析

知识点及层次

1. 确知信号时－频域分析

(1) 现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。 (2) 几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。 (3) 信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。 2. 随机过程统计特征 (1) 二维随机变量统计特征。

(2) 广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。 (3) 高斯过程的统计特征。 3. 高斯型白噪声统计特征

(1) 理想白噪声及限带高斯白噪声特征。 (2) 窄带高斯白噪声主要统计特征。

以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是系统分析的最主要的数学方法。

2.1信号与系统表示法

2.1.1通信系统常用信号类型

通信系统所指的信号在不加声明时，一般指随时间变化的信号。通常主要涉及以下几种不同类型的信号：

1.周期与非周期信号

周期信号

满足下列条件：

全部时域

(2-1)

——

的周期，是满足（2-1）式条件的最小时段。

因此，该

也可表示为：

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(2-2)

——是

在一个周期

内的波形（形状）。

若对于某一信号 ，不存在能满足式（2-1）的任何大小的 值，则不为周期信号（如

随机信号）。从确知信号的角度出发，非周期信号一般多为有限持续时间的特定时间波形。

2．确知和随机信号

确知信号的特征是：无论是过去、现在和未来的任何时间 ，其取值总是唯一确定的。如一个正弦波形，当幅度、角频和初相均为确定值时，它就属于确知信号，因此它是一个完全确定的时间函数。

随机信号是指其全部或一个参量具有随机性的时间信号，亦即信号的某一个或更多参量具有不确定取值，因此在它未发生之前或未对它具体测量之前，这种取值是不可预测的。如上述正弦波中某一参量（比如相位）在其可能取值范围内没有固定值的情况，可将其表示为：

(2-3)

其中和

为确定值，

可能是在（0，2π）内的随机取值。

3．能量与功率信号

在我们常用的电子通信系统中，信号以电压或电流（变化）值表示，它在电阻功率为：

上的瞬时

或

(2-4)

功率

正比于信号幅度的平方。其归一化瞬时功率或能量（

=1Ω）表示式为：

(2-5)

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在

=1Ω负载上的电压或者电流信号的（归一化）能量为：

(2-6)

单位时段

2

则为：

内的平均能量等于该被截短时段内信号平均功率。而信号的总平均功率

(2-7)

一般地，能量有限的信号称为能量信号，即 0<信号，即

0<

<∞。

<∞；而平均功率有限的信号称为功率

能量信号与功率信号是不相容的——能量信号的总平均功率（在全时轴上时间平均）等于0，而功率信号的能量等于无限大。通常，周期信号和随机信号是功率信号；确知而非周期信号为能量信号。

从理论上，表示信号的方法很多，但实际上傅立叶分析在信号处理与通信中沿用至今，它

将任何函数波形

均正交分解为一系列正弦波之和表示，在应用上具有很大的广泛性。在通

信系统中，利用变换域，如频域分析，可更方便地揭示信号本质性特点。

4．基带与频带信号

从信源发出的信号，最初的表示方法，大都为基带信号形式（模拟或数字、数据形式），它们的主要能量在低频段，如语音、视频等。它们均可以由低通滤波器取出或限定，因此又称为低通信号。为了传输的需要，特别是长途通信与无线通信，需将源信息基带信号以特定调制方式“载荷”到某一指定的高频载波，以载波的某一、二个参量变化受控于基带信号或数字码流，后者称为调制信号，受控后的载波称为已调信号或已调载波，属于频带信号。它限制在以载频为中心的一定带宽范围内，因此又称为带通信号。

2.1.2系统表示法

通信系统或信号系统涉及线性时不变系统和非线性的、时变系统。在先行课信号与系统

分析中已对线性时不变系统进行过充分研究；一个复杂的通信系统，特别是无线通信系统（如短波信道），需以非线性时变系统分析方法来处理。

根据傅立叶分析方法，一个正弦波输入到系统，响应结果等于相同频率的另一正弦波的条

件有两个：

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1.

系统是线性的——遵循迭加原理和比例倍增。如系统输入为

和

，如果存在

的响应为

和，响应各为

（可迭加性）及

作为激励，其响应为：

（比例倍增）

(2-8)

其中a1、a2为任意常数。则该系统为线性系统。

2.

系统是时不变的——如果系统激励为

即

，而响应

，响应为

，即

，当输入信号延<时，

也产生同样延时

，则该系统为时不变系统。

2.1.3通信系统中的统计分析方法

从通信系统的通信过程而言，是具有基于概率统计特征的。从信源到信号表示，有噪信道

传输和接收，各个环节均需利用统计分析方法来处理通信信号及通信系统问题。对于接收者来说，关于信源随机发送的信息序列是不确定的，不可预测的，因此属于一定特征的随机信号。在传输过程中，由于信道介入各种干扰、噪声，受到污染的信号到达接收端，使接收者更增大了不确定程度。因此，基于统计理论的随机过程和信息论是分析与解决信息传输和最佳接收问题的重要理论基础，这正是本章第4节开始重点讨论的问题。

2.2信号频谱分析概述

为了知识的连续性，同时作为随机信号分析的基础，兹概要回顾确知信号傅立叶分析方法。

2.2.1傅立叶级数

任何一个周期为

的周期信号，，只要满足狄里赫利条件，

就可以展开为正交序列之和——傅立叶级数：

(2-9)

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式中系数

(2-10)

——

的均值，即直流分量。

式（2-9

）中，由

则得：

(2-11)

式中：

，

，

。

又由

，则

可表示为指数形式：

(2-12)

式中：

，

，，

以上三种级数表示方式实质相同。各项之间均为正交，这样当有限项来逼近样项数时，以正交项之和精度最高。

时，在同

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2.2.2傅立叶变换

非周期信号，即能量信号，其时域表示式通过傅立叶（积分）变换，映射到频域也可表示

信号的全部信息特征——频谱函数，更便于信号和系统的分析。信号的傅立叶变换对为

频谱函数：

反演式：

(2-13)

表示该傅立叶变换对的缩写符号为：

变换对的存在，具有数学上严格的充要条件，这里不再列出。

2.2.3卷积与相关

1.卷积

的运算过程。

卷积是当系统冲激响应

确定后，已知系统的激励信号

而求响应

这一运算模式也可推广到任何两个时间函数

的卷积：

与

或这两个频域函数

与

时域函数卷积：

(交换律)

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(2-14)

频域函数卷积：

(2-15)

关系式：

（卷积定理）

(2-16)

（调制定理）

(2-17)

2. 相关

一个函数 可求其自相关函数 及

：

。

两个函数 与 ，可求它们之间的互

相关函数

自相关函数：

(2-18)

互相关函数：

(2-19)

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(2-20)

则有：

或 （偶对称性）

(2-21)

若 及 、

为周期信号，上列各式利用 格式运算。

2.2.4能量谱、功率谱及帕氏定理

1.能量谱密度

若存在傅立叶变换对能量信号 的能量谱与其自相关函数也是一对傅

立叶变换，即：

简明表示为：

(2-22)

这里

——能量谱函数，或称能量谱密度。

2.功率谱密度

若存在傅立叶变换对 ，且 为功率信号，其自相关函数与其功率谱也

是一对傅立叶变换，即：

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(2-23)

上式可表示周期信号和随机信号两种情况。

周期为

的信号在一个周期的时间平均自相关函

数，随机信号截短信号的时间自相关函数，两者都对应着单位时段能量谱，当时间无限扩展时的时间平均能量谱，等于它们的功率谱，只是当周期信号时，式（2-23）不必用极限运算。

因为

为随机信号时不存在周期，以

表示该 的截短段为 的能量

谱， 为此段时间平均功率谱，取时间极限后才为该信号准确功率谱。这一计算方式，

到后面随机信号分析将要用到。

3．帕氏定理（Parseval）——信号能量与功率的计算

帕氏定理：能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并且

在时域、频域积分，以及自相关函数 =0时，三者计算结果是一致的。

2.3希尔伯特变换

2.3.1希氏变换

希氏变换是完全在时域中进行的一种特殊的正交变换。也可以看成它是由一种特殊的滤波

器完成的。

为了便于理解变换特点，我们首先讨论这种变换在频域中的规律（规则），然后再返回到

表示，相应频谱以

表示。

时域来进一步认识它，并且变换后信号以

1．希氏（频域）变换定义

若信号存在傅立叶变换对

域全部频率成分相移传递函数，即有：

，

而正频域相移

，则其希氏变换的频谱等于该信号频谱的负频

——完成这种变换的传递函数称为希氏滤波器

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(2-25)

则希氏变换频谱为

(2-26)

2．希氏（时域）变换定义

为了得出时域中进行希氏变换的规则，可以很简单地由上述希氏滤波器传递函数

：

，

求出其冲激响应

(2-27a)

利用傅立叶变换的互易定理，可由

反演出

：

(2-27b)

因此希氏变换的时域表示式为：

(2-28)

由希式变换的定义：

（1） 余弦信号的希式变换等于正弦信号； （2） 正弦信号的希式变换等于余弦信号。

希氏变换在本章最后窄带噪声统计特征分析中，以及线性调制单边带生成过程中，均有非

常重要的作用。

2.3.2希氏变换的主要性质

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1．

信号

与其希氏变换的幅度频谱、功率（能量）谱以及自相关函数和功率（能量）

均相等。这是由于功率谱、能量谱不反映信号相位特征。相应的，自相关函数也不反映信号的时间位置。

2．

希氏变换

再进行希氏变换表示为

。则有：

(2-29)

3．与

互为正交。

为证明最后一个性质的正确性，可通过互相关与能量谱进行计算：

式中右边：

(2-30)

由上式最后一个积分式可以看出，被积函数为奇函数与偶函数之乘积，因此该项积分等于0。

于是，可得正交关系，即：

(能量信号)

(2-31)

或

(功率信号)

2.4 随机变量统计特征

在数学课中，已经涉及到基于概率论的随机变量及其统计平均的计算，随机变量是建立随

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机过程和随机信号分析方法的基础。这里从公理化概率概念出发，阐明随机变量的形成及主要统计平均的运算方法。

2.4.1 概率的公理概念

关于概率概念，在工科数学中曾从古典概率、几何概率等，对随机事件做了描述性说明。

这里拟从概率空间角度，对随机事件及其概率建立数学模型。

一个随机实验，严格来说主要应满足下列三个基本特点：

（1） 实验（Experiment）在相同条件下是可重复的；

（2） 每次重复称作试验（Trial），其可能结果（Outcomes）是不可预测的； （3） 一个随机实验中的大量试验，其结果会呈现一定统计规律。 我们利用统计概率概念来描述概率的定义：

一个随机实验，所有试验可能结果（Outcomes）称为样本（Samples）。其全部样本集合构成样

本空间

（整集）

，其中一个样本或多个有关样本集合构成的子集称为

，则

称为事件。

的事件域

，

中的

每一集合（或样本）称为事件。这样若事件

个要素实体的结合，构成一个概率空间，表示为：

的概率。于是以上三

2.4.2 随机变量

上面以概率空间

表示了随机实验及其可能结果的概率模型。在实际应用中，

我们希望以更明确的数学表示，来阐明样本空间诸事件（集）的统计特性及其相互关系,兹介入“随机变量”概念。

现将样本空间中所有事件（样本）均以某种指定的规则映射（Mapping）到数轴上，并以

指定的实数来表示它们。

如掷硬币，

两种可能结果的样本空间为，

（、分别表示硬币出现正、反面），

、

）——来表示两个试

映射到数轴上，可由任意指定两个实数作为你的映射规则（称验结果。为方便计，可用0、1

来表示，即构成一维随机变量可能的数值表示，即：

，此时它以=0及=1两种

=1 （

）及=0 （）。

如图2-8（a）所示。

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它包括了随机变量的2

个“取值”（=0

）及

（=1）；

由此看来，上述，表面上写法类似于“函数”，但它们确不是一个函数，而是变

，

来表示，以免与函数混淆。

量或变量取值集合。于是，可将随机变量直接用

其实，随机变量在数轴上所表示样本映射的点（可能的取值），仍与样本的概率相对应，它

、

，

们都要附带其在样本空间的概率特征，因此赋予一定规则的映射所指的随机变量尚必须对所有样本映射点（取值）的概率给予明确表示。后面将具体说明。

2.4.3随机变量的统计特征

在数轴的实数值代表的样本空间的样本或实体，它们并非确定数，

它们只是

中样本的“数

字符号”形式的代表，因此必须与其概率相对应才有真实意义。集的概率为1

，即

于某特定取值

的随机变量

，而随机变量中的部分事件

的累积概率，其大小随

全部样本的累积概率——整的概率

是一切不大

取值变化，因此称其为概率累积函数或

概率分布函数（cdf）可表示为：

且有：

(2-43)

式中，

的含义是不包含所有随机变量取值（

则包含

任何取值均有

是不存在的）的累积概率为0；而

的全部取值所对应的概率之和，即

，则有：

累积之和当然为1（随机变量完备群概率）

。一般地，随机变量值如有

,

接着的问题是，我们尚需了解随机变量各取值的概率质量（离散时）或概率密度（

或

表示。

为连续时）

，即随机变量的概率密度（函数）pdf，并以

与是互为微积分关系：

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或

(2-44)

这里作为“虚假”变量。当具体取值为及x1、x2,

且

,则：

(2-45)

若上式中 =

–∞，

可设为 的任意值 ，则：

(2-46)

且有：

(2-47)

2.4.4常用的随机变量类型

1.均匀分布

前面例子已涉及到均匀分布随机变量，即它们的pdf具有均匀分布特征。 又如，

产生一个幅度为

，

角频为

的正弦波，

，

其中若初相

<>

非为某种强制设定的量,可看做

2.高斯型分布

是在（0，2π）内均匀分布的随机变量。

在自然界中，很多现象符合“中心极限定理”，它与高斯（正态）分布特征有着密切关系。一

维高斯变量

的pdf为：

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(2-48)

由上式看出，对于一个高斯随机变量，

只要已知均值

，其中当

=0，

及方差 ，就能唯一确定其pdf，

，称其

且可简写为 时的高斯分布，其pdf

为

为归一化高斯分布，即：

(2-49)

图2-11示出了一维高斯随机变量pdf和cdf曲线。

本章附录中列出了该归一化分布和概率积分函数：

，

在实际应用中，经常需要计算高斯随机变量

在

处的累积概率值，即：

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(2-50)

为了查表方便，先进行归一化，即设

可得：

(2-51)

于是通过查阅本章附录的高斯变量概率积分表，可得准确结果。

概率积分函数有以下性质：

(2-52)

在通信系统设计与数字信号误码率分析中，经常利用“误差函数”或“互补误差函数”。 误差函数：

(2-53)

互补误差函数：

(2-54)

且有：

(2-55)