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第 八 章

圆锥曲线方程

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8.1

椭圆第二课时

题型3 题型 1.

椭圆背景下的求值问题

x2 已知F 的左、 已知 1、F2分别是椭圆 + y 2 = 1的左、右 4

焦点.若点 是该椭圆在第一象限内的一点 焦点 若点P是该椭圆在第一象限内的一点，且 若点 是该椭圆在第一象限内的一点，uuur uuuu r 5 PF1 PF2 = - , 求点 的坐标 求点P的坐标 的坐标. 42

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由条件知a=2,b=1,所以 解：由条件知 ， ,所以c= 3. 所以F 所以 1(- 3 ,0),F2( 3,0). , 设P(x,y)(x>0,y>0). , > , >uuur uuuu r 则 PF1 PF2 = (- 3- x,- y) ( 3- x,- y) = x2 + y2 -3 = - 5 . 4 7

x2 + y2 = x2 4 2 又 + y = 1, 联立 2 , 4 x + y2 = 1 4

x2 = 1 解得 2 3 . y = 4

又x>0,y>0, > , > , x = 1 所以 y = 3 , 2

故P(1,3 ). ,23

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点评：椭圆的性质是解决求值问题 点评： 的关键.求值一般先转化为求参数，而求 的关键 求值一般先转化为求参数， 求值一般先转化为求参数 参数问题，主要根据条件得出关于参数 参数问题， 的方程(组),再解得方程(组)即可 的方程 组 ，再解得方程 组 即可. 即可

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如图所示， 拓展练习 如图所示， 已知椭圆长轴|A 已知椭圆长轴 1A2|=6,焦 焦 过焦点F 距|F1F2|=4 2 .过焦点 1作 过焦点 一直线，交椭圆于两点M、 一直线，交椭圆于两点 、 N.设∠F2F1M=α(0≤α<π), , 设 求当α取什么值时 取什么值时， 等于椭圆短轴的长？ 求当 取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？ 等于椭圆短轴的长x2 解：由已知可得椭圆的方程为 9 + y 2 = 1. 2 轴时， 不满足题意； 当MN⊥x轴时，|MN|= ,不满足题意； ⊥ 轴时 3

故可设MN所在直线的斜率为 ， 所在直线的斜率为k, 故可设 所在直线的斜率为5

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故可设MN所在直线的斜率为 ， 故可设 所在直线的斜率为k, 所在直线的斜率为 所在直线的方程为y=k(x+ 2 2 )(其中 其中k=tanα). 则MN所在直线的方程为 所在直线的方程为 其中 x2 2 + y =1 , 由方程组 9 y = k(x + 2 2) 消去y得 消去 得(1+9k2)x2+36

① 2 k2x+9(8k2-1)=0.①

是方程① 设M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1、x2是方程①的 、 , 两个实根， 两个实根，-36 2k 2 9(8k 2 -1) 所以 x1 + x2 = 1+ 9k 2 , x1x2 = 1+ 9k 2 .6

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利用弦长公式 | MN |= 1+ k 2 | x1 - x2 |,36 2 k 2 2 9(8k 2 -1) 得 2 = 1 + k () - 4 2 1 + 9k 1 + 9k 2 6(1 + k 2 ) = , 2 1 + 9k2

1 k = , 所以tan α = ± 3 , 解得 3 3 π α= 或 5π . 所以 6 62

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题型4 在椭圆背景下求参变量的取值范围 题型 x2 y2 2. 设F1、F2分别为椭圆 + = 1的左、右焦 的左、 4 3 为椭圆上一动点， 点，P为椭圆上一动点，点P到椭圆右准线的距 为椭圆上一动点 到椭圆右准线的距 离为d.若 成等比数列， 离为 若m|PF1|,|P

F2|,d成等比数列，求m的取 ， , 成等比数列 的取 值范围. 值范围 解法1:由已知得|PF 解法 ：由已知得 2|2=m|PF1|·d.| PF2 | 1 = e = ,所以 所以|PF2|=2m|PF1|. 又 d 2

据椭圆的定义， 据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=4.4 . 所以(2m+1)|PF1|=4, 所以| PF1 |= 所以 ， 2m +18

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设点P(x 设点 0,y0),则|PF1|=a+ex0=2+ ,4-8m . 解得 x0 = 2m + 1 4 -8m |≤ 2, 因为|x 2 因为 0|≤2,所以 | 2m + 1

x0 2

.

所以2 +

x0 4 = , 2 2m + 1

所以|2-4m|≤|2m+1|,即(2-4m)2≤(2m+1)2, , 所以 得(6m-1)(2m-3)≤0,所以 ∈[ ,所以m∈ 设点P(x 设点 0,y0),则： ,1 3 , ]. 6 2

解法2:由已知可得 解法 ：由已知可得|PF2|=2m|PF1|.x0 a - ex0 | PF2 | 2 = 4 - x0 = 1 ( 8 -1). m= = = 2 | PF1 | 2(a + ex0 ) 2(2 + x0 ) 2(4 + x0 ) 2 x0 + 4 2 2-

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因为-2≤x0≤2,函数 因为 函数 1 函数,且当 且当x 时 当 函数 且当 0=2时,m= ,当x0=-2时,m= 时 61 所以m∈ 所以 ∈[6 3 , 2

1 8 m= ( -1) [-2,2]上是减 在 上是减 2 x0 + 4

3 .2

].

解法3:由已知可得|PF2|=2m|PF1|, 解法 ：由已知可得 ，| PF2 | 4- | PF1 | 2 1 = = - . 所以 m = 2 | PF1 | 2 | PF1 | | PF1 | 2

由椭圆的几何性质知，a-c≤|PF1|≤a+c, , 即1≤|PF1|≤3, ,1 1 1 3 ≤ 1.所以 ∈[ , ]. 所以m∈ 所以 ≤ 6 2 3 | PF1 |10

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点评： 点评：求椭圆中的参数的取值范围 问题， 问题，一般是根据条件得到参数的不等 注意一些隐含条件的转化， 式(组).注意一些隐含条件的转化，如椭圆 组 注意一些隐含条件的转化 上的点的坐标范围，离心率的范围等. 上的点的坐标范围，离心率的范围等

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已知椭圆C的中心在原点 的中心在原点， 拓展练习 已知椭圆 的中心在原点，焦 点在x轴上， 点在 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为 轴上 顶点的四边形是一个面积为8的正方形 记为Q). 的正方形(记为 顶点的四边形是一个面积为 的正方形 记为 (1)求椭圆 的方程 求椭圆C的方程 求椭圆 的方程; (2)设点 是椭圆C的左准线与 轴的交点， 设点P是椭圆 的左准线与x轴的交点， 设点 是椭圆 的左准线与 轴的交点 过点P的直线 与椭圆C相交于 的直线l与椭圆 相交于M,N两点，当线 两点， 过点 的直线 与椭圆 相交于 两点 的中点落在正方形Q内 包括边界 包括边界)时 段MN的中点落在正方形 内(包括边界 时，求 的中点落在正方形 直线l的斜率 的取值范围. 的斜率k的取值范围 直线 的斜率 的取值范围 依题意， 解：(1)依题意，设椭圆 的方程为 依题意 设椭圆C的方程为 x2 y2 焦距为2c, 焦距为 + 2 = 1 (a>b>0),焦距为 ， 2b

a

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由题设条件知， 所以b2=4. 由题设条件知，2bc=8,b=c,所以 所以x2 y2 故椭圆C的方程为 故椭圆 的方程为 + = 1. 8 4

(2)由(1)知，椭圆 的左准线方程为 由 知 椭圆C的

左准线方程为 的左准线方程为x=-4, 所以点P的坐标为 所以点 的坐标为(-4,0), 的坐标为 ， 显然直线l的斜率 存在，所以直线 的方程 显然直线 的斜率k存在 所以直线l的方程 的斜率 存在， 为y=k(x+4). 如图，设点 的坐 如图，设点M,N的坐 标分别为M(x1,y1),N(x2,y2), 标分别为 线段MN的中点为 的中点为G(x0,y0), 线段 的中点为 ，13

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y = k ( x + 4) 由 x2 y2 , + =1 4 8

得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0.① ① 由 =(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)>0, , 解得 16k 2 , 因为x 是方程①的两根,所以 因为 1,x2是方程①的两根 所以x1 + x2 = 2 1+ 2k 2 x1 + x2 8k 4k =, y0 = k ( x0 + 4) = . 于是 x0 = 2 2 2 1 + 2k 1 + 2k 22 2 < k < .② 2 2

8k 所以点G不可能在 轴的右边， 不可能在y轴的右边 因为 x0 = ≤ 0, 所以点 不可能在 轴的右边， 2 1 + 2k

又直线F 的方程分别为y=x+2,y=-x-2, 又直线 1B2,F1B1的方程分别为

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所以点G在正方形 内 包括边界 包括边界)的充要条 所以点 在正方形Q内(包括边界 的充要条 在正方形 y0 ≤ x0 + 2 件为 y ≥ - x - 2 0 0

.

4k 8k 2 2k 2 + 2k -1 ≤ 0 1 + 2k 2 ≤ - 1 + 2k 2 + 2 . , 亦即 2 即 2 8k 2k - 2k -1 ≤ 0 4k ≥ -2 1 + 2k 2 1 + 2k 2

1- 3 3-1 解得 ≤k ≤ , 2 2

此时②也成立. 此时②也成立

1- 3 3-1 故直线l的斜率 的取值范围是[ , 故直线 的斜率k的取值范围是[ ]. 的斜率 的取值范围是 2 215

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参 考 题1. 分别为F 是椭圆上的一点,AF2⊥F1F2, 分别为 1、F2,A是椭圆上的一点 是椭圆上的一点 1 试推断ab是 原点O到直线 到直线AF 原点 到直线 1的距离为 3 | OF1 | . 试推断 是 否为定值，并说明理由. 否为定值，并说明理由 解法1:由题设 解法 ：由题设AF2⊥F1F2及F1(-c,0), , , F2(c,0),不妨设点 ，y),其中 ， ,不妨设点A(c, ,其中y>0.c2 y 2 由于点A在椭圆上 在椭圆上， 由于点 在椭圆上，故有 2 + 2 = 1, a b16

x2 y2 的左、 设椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)的左、右焦点 的左 a b