合肥168中学2011年自主招生数学试题(含答案)

答案

一、选择题

3、已知：y=1/2(x的平方-100x+196+|x的平方-100x+196|),当x=1，2，到100，求这100个自然数的和的函数值

解法一：对于函数x^2-100x+196，它可因式分解为(x-2)(x-98)，所以当x=2 x=98

时，这个函数为0

当2<x<98时，这个函数的x轴的下面，而对于|x的平方-100x+196|，它在x轴

的上面，且两者离x轴的距离都相等。

所以当x=2、3、、4、……、98时，y都为0

当x=0时，y=1/2*(196+196)=196

该函数的抛物线为x=50，所以x=1和x=99的值相等，当x=1时，

y=1^2-100+196=97

所以这100个自然数的值为 196+97*2=390

解法二：当2≤x≤98时，因为 x^2-100x+196=(x-2)*(x-98)≤0，

所以恒有 y=[x^2-100x+196-(x^2-100x+196)]/2=0,

当x=1,99,100时，y=[x^2-100x+196+(x^2-100x+196)]/2=x^2-100x+196。

y(1)=y(99)=97，y(100)=196。

所以：y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+……+y(97)+y(98)+y(99)+y(100)

=97+0+0+0+……+0+0+97+196=390。

5、设 a平方+1=3a，b平方+1=3b,且a不等于b，则代数式1/a平方+1/b平方的值是

解：a²＋1=3a，b²＋1=3b，则：a、b是方程x²＋1=3x即x²－3x＋1=0的两个

根，则：

a＋b=3且ab=1

1/a²＋1/b²=[a²＋b²]/(ab)²=[(a＋b)²－2ab]/(ab)²=7

6、如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向

从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了

（ ）

解：小球周长和三角形边长相等，因此在每条边转动了360°（即转1圈）

三条边一共 3圈。

每经过一个顶点，需要转120°： 180-60=120°

三个顶点一共多转了120*3=360°，即1圈

因此，一共转了4圈，(或者1440°)

7、如图，等边△ABC的边长为10cm,以AB为直径的⊙O分别于,CA,CB于

DE两点，则图中阴影部分的面积为

解：解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=60°

又∵AB是⊙O的直径，

∴AO=AD=DO=BO=BE=EO=1/2AB=5

∴∠DOE=60°

∴S⊿ADO+S⊿BEO=2×(1/2)×5×(5/2)√3=(25/2)√3

S扇形ODE=（60°/360°)×π×5²=（25/6)π

又∵S⊿ABC=（1/2）×10×5√3=25√3

∴阴影部分的面积为：S⊿ABC－S⊿ADO－S⊿BEO－S扇形ODE

=25√3-（25/2)√3－（25/6)π

=（25/2)√3－（25/6)π

8、如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D点的任一

点，且∠NMB=∠MBC,求tan∠ABM的值

解：过点N作直线NO平行于MB，交BC于点O

∵∠NMB=∠MBC, NO‖MB

∴四边形BMNO为等腰梯形

∴BO = MN

∵N是DC的中点

∴BO²=MN²=DM²+DN²=(AB-AM)²+(AB/2)²

∵NO‖MB, AD‖BC

∴∠AMB=∠MBC=∠NOC

∴⊿AMB∽⊿CON

∴OC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2)

∴BO=AB-AM/2

得到方程式

(AB-AM)²+(AB/2)²=(AB-AM/2)²

解方程得：

AB²-2*AB*AM+ AM²+AB²/4=AB²-AB*AM+AM²/4

AB²/4- AB*AM+3/4 * AM²=0

(AB/2-3/2*AM)(AB/2-AM/2)=0

AB=AM或AB=3AM

∵AB=AM时M重合于D，不合题意。

∴AB=3AM

∴tan∠ABM=AM/AB=1/3

二、填空题

10. 若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围．

解不等式1得x<21

解不等式2得x>2-3a

结合两解得2-3a<x<21

而x有四个整数解，观察上式可知，这四个整数解为20、19、18、17，

所以16<=2-3a<17

-5<a<=-14/3

11.在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=5，P是三角形ABC内一点，且PA=根号5，PC=5，

则PB=？

作PH⊥AC，BG⊥AC，垂足H，G，PI⊥

BG，垂足I，

∵△ABC是等腰RT△，

∴AC=√2AB=5√2，

在△PAC中，根据勾股定理，

PA^2-AH^2=PC^2-CH^2=PH^2

5-AH^2=5^2-(5√2-AH）^2,

∴AH=3√2/2，

∵AG=AC/2=5√2/2，

∴HG=AG-AH=√2，

PH=√（PA^2-AH^2)=√2/2，

∵BG=AC/2=5√2/2，

∵四边形PHIG是矩形，

∴IG=PH=√2/2，

PI=HG=√2，

BI=BG-IG=BG-PH=2√2，

在RT△BPI中，根据勾股定理，

PB^2=BI^2+PI^2=8+2=10，

∴PB=√10。

12、已知圆环的内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环

套环地连成锁链如图1,单位;cm,那么这条锁链拉直的长度是多少厘米

?

50个内径共50acm，外加两边两个外径(b-a)cm，共50a+b-a=49a+b(cm)。

13.下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树

枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，

图（7）比图（6）多出（ ）个“树枝”。

答案60

解：∵图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8

个“树枝”，…，

∴图形从第2个开始后一个与前一个的差依次是：2，22，…，2n-1．

∴第5个树枝为15+24=31，第6个树枝为：31+25=63，

∴第（6）个图比第（2）个图多63-3=60个．

故答案为：60．

如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1

多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，

照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）

请问能不能用n来表示这个规律

A(n+1)比A(n)多2^n树枝

A(n)树枝总数为2^n-1

A6比A2多2^6-2^2=60

14. 已知对于任意正整数n都有a1+a2+...+an=n^3,则

(1/a2-1)+(1/a3-1)+...+(1/a100-1)=_____

a1+a2+...+a(n-1)+an=n³ (1)

a1+a2+...+a(n-1)=(n-1)³ (2)

(1)-(2)

an=n³-(n-1)³

=[n-(n-1)][n²+n(n-1)+(n-1)²]

=3n²-3n+1

1/(an

-1)=1/(3n²-3n+1-1)=1/(3n²-3n)=(1/3)×1/(n²-n)=(1/3)×1/[n(n-1)]=(1/3)[1/(n-1)-1/n]

1/(a2-1)+1/(a3-1)+...+1/(a100 -1)

=(1/3)[1/1 -1/2+1/2-1/3+...+1/(99)-1/100]

=(1/3)(1 -1/100)

=(1/3)(99)/100

=33/100

已知对于任意正整数n，都有a1+a2+……+an=n^3,则

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究：△ABC的最大面积？

答案（找作业答案--->>上魔方格）

解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x， ∴，

解得1<x<2；

（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解；

②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=，

满足1<x<2；

③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=，满足1<x<2，

∴x=或x=；

（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD=h，△ABC的面积为S，则S=xh，①如图甲所示，若点D在线段AB上， 则，

∴（3-x）2-h2=x2-2x+1-h2，即x=3x-4，

∴x2（1-h2）=9x2-24x+16，即x2h2=-8x2+24x-16，

∴S2=x2h2=-2x2+6x-4=-2，

当x=时（满足≤x<2），S2取最大值，从而S取最大值，

②如图乙所示，若点D在线段MA上，则，

同理可得，S2==-2x2+6x-4=-2（x-）2

+，

易知此时S<，

综合①②得，△ABC的最大面积为

。

17、如图所示,AB是圆O的直径,AB=d,过A作圆O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连接OC交圆O于点D,BD的延长线交AC于E，求AE的长

18、（2008 杭州）在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）（t，b均为非零常数）．平移二次

函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与

x轴相交于B，C两点（|OB|＜|OC|）．连接AB．

（1）是否存在这样的抛物线F，使

（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO= 3

2 得|OA|2=|OB| |OC|？请你作出判断，并说明理由；

，求抛物线F对应的二次函数的解析式．

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）平移二次函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F，则抛物线的二次项系数不变，顶点为Q，则函数的解析式就可以直接写出．是y=-t（x-t）2+b．|OB| |OC|就是一元二次方程-t（x-t）2+b=0的两根的积得绝对值，因而可以用根据韦达定理，利用t表示出来．而OA=t，根据|OA|2=|OB| |OC|就可以得到一个关于t的方程．从而把问题转化为判断方程的解得问题．

（2）AQ∥BC即Q得纵坐标是b=t，得到抛物线F是：y=-t（x-t）2+t．就可以求出B，C的坐标．已知tan∠ABO=

3

2

，就是已知OA与OB得比值，即t的关系．就可以转化为方程问题解决．

解答：解：（1）存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB| |OC|．