第四章(09自相关)

第一节 自相关性及其产生的原因 第二节 自相关性的后果 第三节 自相关性的检验 第四节 自相关性的修正方法 练习题

第一节对于模型

自相关性及其产生的原因

一、自相关性的概念

yt=b0+b1x1t+b2x2t+…+bkxkt+μt如果随机误差项的各期值之间存在着相关关系，即： Cov(μt,μt-i) = E(μtμt-i)≠0 (i=1,2,…,s)

则称模型存在着自相关性(Autocorrelation)。由于 自相关性主要表现在时间序列数据,亦称为序列相关。 为明确起见，将变量和随机误差项的下标用符号t,t-1, t-2,…等表示。

二、自相关性主要有以下原因1、遗漏了重要的解释变量。 2、经济变量的滞后性(惯性)。 3、模型形式设定不当。 4、随机因素的影响。 5、数据处理造成的自相关。

随机误差项的自相关性可以有多种形式， 其一般形式 可以表示成： μt=ρ1μt-1+ρ2μt-2+…+ρpμt-p+νt 称之为p阶自回归形式，或模型存在p阶自相关。

ρ为自回归系数 (数值上等于 自相关系数， 证明略)

νt是满足回 归模型基本 假定的随机 误差项。

第二节

自相关性的后果

自相关的后果与异方差性类似。 1.最小二乘估计不再是有效估计。

当模型存在自相关性时，OLS估计仍然是无偏估计，但 不再具备有效性。 2.低估OLS估计的标准误差。 2 2 ) S (b 2 ( xt x ) ( xt x ) 23. t 检验失效。

在自相关性的影响下，很可能使原来不显著的t值变为 显著的，即易将不重要的因素误引入模型。 4. 模型的预测精度降低。

第三节

自相关性的检验

一、残差图分析 一种直观的诊断方法，它是把给定的回归模型直接 用普通最小二乘法估计参数，求出残差项et, et作为μt 随机项的真实估计值，再描绘et的散点图，根据散点图 来判断et的相关性。 残差et的散点图通常有两种绘制方式 。 1、绘制et-1 ,et 的散点图。 用(et-1 ,et )(t = 1,2,…n)作为散布点绘图。 如果 大部分点落在第Ⅰ、Ⅲ象限，表明随机误差项μt存在 着正的序列相关；如果大部分点落在第Ⅱ、Ⅳ象限，那 么随机误差项μt存在着负自相关。

按照时间顺序绘制回归残差项的et图形：如果et随着t 的 变化逐次有规律地变化，呈现锯齿形或循环形状的变化， 就可断言et存在相关，表明存在着序列相关；如果et随着 t的变化逐次变化并不断地改变符号，那么随机误差项μt 存在负的序列相关。如果et随着t的变化逐次变化并不频 繁地改变符号，而是几个正的et后面跟着几个负的，则表 明随机误差项存μt在正的序列相关 在方程窗口中点击Resids按钮，或者点击View\ Actual, Fitted,Residual\ Tabel,都可以得到残差分布图。 二、德宾-沃森(Durbin-Watson)检验 (简称D-W

检验 ) 适用条件：检验一阶自相关性；解释变量与随机项不 相关，样本容量较大。 基本原理和步骤： (1) 提出假设 H0 : ρ=0

(2)构造检验统计量：

DW

(et et 1 ) 2 2

n

et2 1

n

DW统计量与ρ之间的关系： 因为对于大样本，

e1

n

2 t

e e2 t 2 2

n

n

2 t 1

所以 DW

(e t2 2et et 1 et2 1 )

e

2 t

e t2 2et et 1 et2 1 )

e

2 t

2( e t2 et et 1 )

e

2 t

et et 1 2 1 2 2 1 et

et2

et et 1

et2 1

所以有:

DW 2(1 )

此式为自相关 系数ρ的估计

因为 -1≤ρ≤1,所以 0 ≤DW ≤4。 (3)检验自相关性： 若 DW=0 1 即存在完全正自相关性 DW=4DW=2

1即存在负自相关性 0 即不存在(一阶)自相关性

根据样本容量n、解释变量k在给定的显著水平下，建立 了DW检验统计量临界值的下限dL和上限dU,并编制了 DW检验的上、下限表(附表1)。所以，DW检验的实 际检验过程为(见下图):正自 相关dL

无法 判定dU

无自相关

无法 判定4-dU

负自 相关

2

4-dL

4

①0≤DW≤dL时，存在(正)自相关性。 ②4-dU≤DW≤4时，存在(负)自相关性。 ③dU≤DW≤4- dU时，不存在自相关性。 ④dL<DW<dU,或4-dU<DW<4- dL时，无法确定是否存在自相 关性。

使用D-W检验时应注意以下几个问题。(1)D-W检验只能判断是否存在一阶自相关性。并不同时 意味着模型不存在高阶自相关性，即不能得出“不存在 自相关性”的结论。 DW统计量的上、下界表要求n≥15 (2)D-W检验有两个无法判定的区域。 (3)如果模型的解释变量中间含有滞后的被解释变量， 此时D-W检验失效。(只适用于有常数项的回归模型) 对此类模型Durbin又提出了一个新的检验统计量，称为 Durbin-h统计量：

DW n h (1 ) 2 1 nD(b1 )

三、高阶自相关性检验 1、偏相关系数检验 偏相关系数是衡量多个变量之间相关程度的重要指标， 可以用它来判断自相关性的类型。利用EViews软件计算 偏相关系数，具体有两种方式： 【命令方式】IDENT RESID 【菜单方式】在方程窗口中点击 View\Residual Test\Correlogram-Q-statistics 屏幕将直接输出et 与et-1, et-2 … et-p (p是事先指定 的滞后期长度)的相关系数和偏相关系数，从中可以直 观地看出残差序列的相关情况。

2. 高阶自相关的检验： LM检验法 (Breusch—Godfrey检验、BG检验)

为解决DW检验存在的缺陷，布鲁奇(T. S. Breusch)和戈弗雷(L.G.. Godfrey)在上世纪七 十年代末期提出了检验一般自相关的方法：布鲁奇戈弗雷法，由于该

方法源自拉格朗日乘数原理，因 此通常被称为拉格朗日乘数法(LM法)。

对于模型 yt=b0+b1x1t+b2x2t+…+bkxkt+μt

设自相关形式为：μt=ρ1μt-1+ρ2μt-2+…+ρpμt-p+νt

假设H0: ρ1 = ρ2 = … = ρp =0①利用OLS法估计模型，得到残差序列et; ②将et 关于所有解释变量和残差的滞后值et-1, et-2 … et-p 进行回归，并计算出辅助回归模型的判定系数R2;

③在大样本情况下nR2~χ2(p) 对于显著水平α,若nR2大于临界值，则拒绝原假设H0, 即认为至少有一个ρi的值显著地不等于零。 利用EViews软件可以直接进行BG检验：在方程窗口中点 击View\Residual Test \Serial Correlation LM Test,屏幕 将输出辅助回归模型的有关信息，包括nR2及其临界概 率值。但BG检验中，需人为确定滞后期的长度。实际 应用中，需要反复试，可以考虑用赤池和施瓦茨信息准 则来选择滞后长度。一般是从低阶的p(p=1)开始， 直到p=10左右，若未能得到显著的检验结果，可以认为 不存在自相关性。

例.中国城乡居民储蓄存款模型(自相关性检验)。根据 我国城乡居民储蓄存款年底余额(单位：亿元)和国内 生产总值指数(1978年=100)的历年统计资料，试建立 居民储蓄存款模型，并检验模型的自相关性。 (1)绘制相关图，确定模型的函数形式。 SCAT X Y 操作演示

图形显示两者存在着明显的曲 线相关关系，所以将居民储蓄 存款模型的函数形式初步确定 为：双对数模型，指数曲线模 型和二次多项式模型。