高考中的抽象函数题归类分析

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2008年高考中的抽象函数题归类分析

李承虎 （云南省水富县云天化中学 657800）

抽象函数是指函数解析式未给出，而只给出函数满足条件的一些条件的一类函数。由于这类函数解析式不清楚，故学生在解此类函数问题时，常感到抽象而无计可施。但利用抽象这一特点设计考题可更好地考查学生对函数概念、性质、图像等知识的理解是否深刻，掌握是否牢固。正因为如此，抽象函数深受命题专家的青睐，已成为近几年高考的热点之一。为了追踪热点，透视命题规律，本文就2008年高考中的抽象函数题作一归类分析。．

1. 抽象函数的定义域

例1 （江西文.（3））．若函数y f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)

是（ ）

A．[0,1] B．[0,1) C． [0,1) (1,4] D．(0,1)

解析：因为f(x)的定义域为[0，2]，所以对g(x)，0 2x 2但x 1故x [0,1)。选B 点评 本题着意考查抽象函数的定义域。解题的关键是抽象函数的复合过程。

2. 抽象函数的值域

例2 (江西理.(3)) 若函数y f(x)的值域是 ,3 ，则函数F x f x 的值f(x)2

域是（ ）

A．[

解析： f(2x)的定义域x 1 1 111051010，3] B．[2，] C．[，] D．[3，] 232331111 f(x) 3, 2.由基本不等式知f(x) 2,由勾勾函数知23f(x)f(x)

15101（x）=，当f(x)=3（x）=,当f(x)=时，F时，F，223f(x)F（x）=f(x)

F（x）max=10,选B 3

点评 本题着意考查抽象函数值域求法，这里勾勾函数的适用范围要比均值定理广泛。

3. 抽象函数的函数值

例3 （陕西理.（11））定义在R上的函数f(x)满足f(x y) f(x) f(y) 2xy

1(2 ，则f( 3)等于（ ） （x，y R），f)

A．2 B．3 C．6 D．9

解析：f( 3) f( 1) f( 2) 4,只需求出f( 1)即可，又f(1)=2，故f( 1+1 )f ( 1f) (f(0)=f( 1)，令x y 0，可得f(0)=，0是即于

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f( 1)=0，f( 2)=2f( 1)+2=2. f( 3)=0+2+4=6

例4 （陕西文.（11））定义在R上的函数f(x)满足f(x y) f(x) f(y) 2xy

1(2 ，则f( 2)等于（ A ） （x，y R），f)

A．2 B．3 C．6 D．9

例5 （山东文.（4））给出命题：若函数y f(x)是幂函数，则函数y f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ）

A．3 B．2 C．1 D．0

点评 陕西两个题目着意考查抽象函数的有关运算和性质。考查如何将 3或（ 2）分解是解题的关键，山东题考查幂函数的图像及性质，则f(x) xa。体现了函数性质的综合应用及四种命题的关系，逆命题与否命题、原命题与逆否命题等价。

4. 抽象函数的反函数

例6 （湖南理.(13）)设函数y f(x)存在反函数y f-1(x),且函数y x f(x)的图象过点(1,2)，则函数y f-1(x) x的图象一定过点解析： y x f(x)过点(1,2)， 2 1 f(1)，即f(1) 1， y f-1(x)过点(1， 1). f-1( 1) 1.由 y+x f 1(x)可知y 1 f 1 (=2.即1，) =y1y f-1(x) x过点(-1,2)

点评 本题考查了原函数与反函数的关系及运算，解题的关键是充分把握与理解y f(x)所过的定点，然后加以转化运用，此是解题的技巧所在。

5. 抽象函数的单调性

)上为增函数，且f(1) 0，则不等式例7 （全国Ⅰ理.9 ）设奇函数f(x)在(0，

f(x) f( x) 0的解集为（ ） x

，0) (1， ) A．( 1

1) (1， ) C．( ，

解析：由奇函数f(x)可知 1) (0，1) B．( ，，0) (01)， D．( 1 ，f(x) f( x)2f(x) 0，)(0 ，)1 )1( 0f而f1则f( xx

)上为当x 0时，f(x) 0 f(1)；当x 0时，f(x) 0 f( 1)，又f(x)在(0，

增函数，则奇函数f(x)在( ,0)上为增函数，0 x 1,或 1 x 0 故选D

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6. 抽象函数的周期性

例8 （四川理.(11)）（文.(9)）定义在R上的函数f(x)满足：f(x) f(x 2) 13，f(1) 2，则f(99) （ ）

（A）13 （B）2 （C）13 2 （D）2 13

解析：由f(x) f(x 2) 13，知f(x 2) f(x 4) 13，所以f(x 4) f(x)，即f(x)是周期函数，周期为4．所以f(99) f(3 4 24) f(3) 13 13．选C．

f(1)2

点评 本题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型

7. 抽象函数图像与其导函数图像的整合

例9 （福建文（.11）） 如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（ A ）

解析：由函数的图像可知单调性为增、减、增、减，故导函数的图像呈正、负、正、负 例10 （福建·理(12)）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ D ）

解析：从两函数的斜率入手，其易错点为导函数图像有交点误认为函数图像有公共点，从而误选A。

点评 两题着意考查抽象函数的单调性与导函数图像的关系，考查学生识图用图的能力，对导函数的图像变化，导数的几何意义，认识是部分学生的易错点。

8. 抽象函数的奇偶性与单调性的整合

例11 (安徽理．（11））若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x) g(x) ex，则有（ ）

A．f(2) f(3) g(0)

C．f(2) g(0) f(3) B．g(0) f(3) f(2) D．g(0) f(2) f(3)

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解析：函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，有f( x)= f(x),g( x) g(x).又知f(x) g(x) ex，有f( x) g( x) e x，即 f(x) g(x) e. x

ex+e xex e xe2 e 2

g(x) ，f(x)=，f(2)=，则g(0)= 1， 222

e3 e 3

、ex+e x

>0，f x 是R上的偶函数， g(0) f(2) f(3)，选D f(3)=，f(x)=22

例12 (天津理.（9）) 已知函数f x 是R上的偶函数，且在区间 0, 上是增函数.令

2 5 5 a f sin ,b f cos ,c f tan ，则（ A ） 7 7 7

(A) b a c (B) c b a (C) b c a (D) a b c

解析： f x 是R上的偶函数，所以b f cos

5 75 fcos ，7

5 c f tan7 5 ftan 7 5 2 5 cos sin tan利用单位圆可比较，又f x 在， 777

区间 0, 上是增函数，所以b a c.

点评 (安徽理．（11））主要考查奇函数、偶函数及比较大小，要理解奇函数、偶函数的定义，在比较f(2)，f(3)大小利用了f x 的导数，判断单调性这一知识点是高考中常考知识之一；(天津理.（9）) 主要考查用函数的单调性和单位圆比较大小，在利用单位圆比较三角函数值大小，必须明确2 2 ） 的终边所处位置（<7472

9. 抽象函数的奇偶性、单调性与连续性的整合

例13 (辽宁理.(12)) 设f(x)是连续的偶函数,且当x 0时f(x)是单调函数,则满足

x 3)的所有x之和为( C ) x 4

A. 3 B.3 C. 8 D.8 f(x) f解析： x 0，f(x)单调,且f(x)是连续的偶函数， 要f(x)=f(x 3x 3)必有x=①x 4x 4

x 3x2 3x 3=0, x 4, 两根和为 3；由②得或 x=②。由①得x 4x 4

x2 5x+3=0, x 4, 两根和为 5。综上所有根之和为 8 x 4

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点评 本题综合考查了偶函数，单调函数，连续函数，方程的根等性质及知识是一道很好的综合题。关键是正确理解题意把握f(x) f(x 3)有两种情况。考查了学生分析问题的x 4

全面性和灵活性，具有新意和创造性，是高考命题的一个方向，学习中应灵活掌握运用知识，切忌死学。