高中数学 2-1-2空间点、直线、平面之间的位置关系课件 新人教版A必修2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

【课标要求】 1.会判断空间两直线的位置关系. 2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角. 3.能用公理 4 解决一些简单的相关问题. 【核心扫描】 1.理解空间中两直线的位置关系，公理 4,等角定理及异面直 线所成的角， 并掌握依据定义、 定理对空间图形进行推理论证、 计算的方法.(重点) 2. 异面直线及其所成的角的求解， 空间图形问题转化为平面图 形问题的思想方法.(难点)

自学导引 1.空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种 位置 关系 有且只有一个公共点 ； 相交直线：同一平面内， 共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同 在任何一个平面内 ，没有公共点.

想一想：若 a α,b β,那么 a 与 b 一定是异面直线吗？ 提示 不一定，两直线是异面直线，则不同在任何一个平面

内.当 a α,b β 时，可能存在平面 γ,使 a γ 且 b γ,即 a 与 b 共面.

2.异面直线 (1)定义： 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线. (2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托).

3.平行公理(公理 4) 文字表述： 平行于同一条直线的两条直线 互相平行 . 这一性质 叫做空间平行线的传递性. a∥b a∥c . 符号表述： b∥c 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行 ， 那么这两个角相等或 互补.

5.异面直线所成的角 (1)定义： 已知两条异面直线 a, b, 经过空间任一点 O 作直线 a′ ∥a,b′∥b,我们把 a′与 b′所成的 锐角 (或 直角)叫做异面 直线 a 与 b 所成的角(或夹角).

(0°,90°]. (2)异面直线所成的角 θ 的取值范围：(3)当 θ=90° 时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.

想一想：在异面直线所成角的定义中，角的大小与点 O 的位置 有关系吗？ 提示 根据等角定理可知， a′与 b′所成角的大小与点 O 的位

置无关. 但是为了简便， 点 O 常取在两条异面直线中的一条上， 特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等).

名师点睛 1.关于异面直线 (1)对异面直线概念理解须注意的问题 ①“不同在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平 面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握 异面直线的不共面性. ②不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异 面直线. 也就是说， 在两个不同平面内的直线， 它们既可以是平行直线， 也可以是相交直线.

(2)异面直线的判定方法 ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一

平面内. ②反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线. ③判定异面直线的常用结论：过平面外一点和平面内一点的直 线与平面内不经过该点的直线是异面直线.

2.求两异面直线所成的角需注意的问题 (1)a 与 b 所成角的大小与点 O 无关，为了简便，点 O 常取在两 条异面直线中的一条上.例如取在直线 b 上，然后过点 O 作直 线 a′∥a,a′与 b 所成的角即为异面直线 a 与 b 所成的角， 特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或 表示直线的线段的端点或中点. (2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角， 实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建 立了联系，促进了数学学科间知识的渗透. (3)两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.

3.求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造：根据异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直 线所成的角. (2)证明：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角度，常利用解三角形. (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所 成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所 成的角.

题型一 空间中直线位置关系的判断 【例 1】 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，判断下列直线的 位置关系：

(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________; (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________.

[思路探索] 本题考查对空间中直线位置关系的理解.首先看两 直线是否有交点从而判断是否相交，然后判断没有交点的两直 线是否共面，如果不共面，则两直线异面.

解析 直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以(3)应该填“相 交”;直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中，且没有交点， 则两直线平行，所以(1)应该填“平行”;点 A1、B、B1 在一个 平面 A1BB1 内， 而 C 不在平面 A1BB1 内， 则直线 A1B 与直线 B1C 异面；同理，直线 AB 与直线 B1C 异面，所以(2)(4)应该填“异 面”. 答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面

规律方法 判断直线平行、 相交可用平面几何中的定义来处理， 判定异面直线往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断.