高数同济版大一下学期期末复习

期末考试复习重点(1)直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的 切平面 (2)函数的定义域、极限和连续(连续的定义)、方向导数、 复合函数求导(高阶)、隐函数的求导与全微分、条件极值 (3)二重积分的计算(直角坐标与极坐标) (4)第一、二类曲线积分，积分与路径无关 第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。 (5)数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛 幂级数的收敛域、求级数求和函数。

(一)直线与平面的位置关系，空间曲线的切线， 空间曲面的切平面 (1)设 : Ax By Cz D 0,L: x x0 m y y0 n z z0 p

则

L // s n Am Bn Cp 0L在 上 Am Bn Cp 0, ( x0 , y0 , z0 )

A B C L s // n m n psin | Am Bn Cp | A B C 2 2 2

m n p

2

2

2

,

0

2

,

(2)曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线要点：I:曲面在某点处的切平面

(1)设曲面方程为 F ( x , y , z ) 0第一步：计算Fx , F y , Fz ,

第二步：计算曲面的法向量

n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))

第三步：分别写出切平面和法线的方程Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) F y ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0

x x0 Fx ( x0 , y0 , z0 )

y y0 F y ( x 0 , y0 , z 0 )

z z0 Fz ( x0 , y0 , z0 )

(2)设曲面方程为 z f ( x , y ), 第一步：取F ( x, y, z ) z f ( x, y )

第二步：计算曲面的法向量 n ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 , ), 1)

第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) ( z z0 ) 0x x0 f x ( x0 , y0 ) y y0 f y ( x0 , y0 ) z z0 1

要点II:空间曲线的切线与法平面(1)设空间曲线 的方程x ( t ), y ( t ), z ( t )

第一步：确定点

M ( x0 , y0 , z0 ) 对应的参数 t0 ,

第二步：计算

T ( ( t 0 ), ( t 0 ), ( t 0 ) )

第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法 平面的方程x x0

( t 0 )

y y0

( t 0 )

z z0

( t 0 )

( t0 )( x x0 ) ( t0 )( y y0 ) ( t0 )( z z0 ) 0

(2)设空间曲线 的方程y ( x ), z ( x ), a x b,

T (1, ( x0 ), ( x0 ) )

3、典型例题例 1: 求过点( 3, 2, 5) 且与两平面 x 4 z 3

和 2 x y 5 z 1 的交线平行的直线方程.

解

设所求直线的方向向量为 s {m , n, p},

根据题意知 取

s n1 ,

s n2 ,

s n1 n2 { 4, 3, 1},x 3 4 y 2 3 z 5 1 .

所求直线的方程

例2:设直线 L 和平面 的方程分别为 x 3 y 2z 1 0 L: , 2 x y 10z 3 0

: 4 x 2 y z 2 0,

则必有( C )( A) L // ,( B ) L在 在上,

(C ) L ,

( D) L与 斜交. i j k 解： s 1 3 22 1

28 i 14 j 7k 7(4 i 2 j k )

10 n (4, 2, 1), n // s ,

L ,

例3:求曲面 x 2 y 2 z 2 xy 3 0 上同时垂直于平面 z 0 与平面 x y 1 0 的切平面方程。 解：取 F x 2 y 2 z 2 xy 3, 设切点为 M ( x0 , y0 , z0 ), n ( Fx , F y , Fz )M

( 2 x0 y0 ,2 y0 x0 ,2 z0 )

(2 x y ) (2 y x ) 0 0 0 0 0 2 2 2 x0 y0 z0 x0 y0 3 0 n1 ( 3, 3, 0), n2 ( 3, 3, 0),

2 z0 0

M1 (1, 1, 0), M 2 ( 1, 1, 0),

1 : 3( x 1) 3( y 1) 0,

x y 2 0,

2 : 3( x 1) 3( y 1) 0, x y 2 0,

2 3 x t , y t , z t 在点P处的切线平行于 例:(1)已知曲线

平面 x 2 y z 2 ,求P点的坐标( 2)设直线 x 1 m y 2 2 ( z 1)与 平面 3x 6 y 3z 25 0

垂直，求m与

(二)多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导(高阶),隐函数的求导和全微分、 条件极值 (1)多元函数在某点的定义域、极限和连续 要点：I:求二元函数在某点的极限 1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则 2、利用有界函数与无穷小乘积的性质 3、利用变量对换化为一元函数极限 4、利用夹逼准则与两个重要极限

例：函数 z

x

y的定义域为(B、x

B

)

A 、 0, y 0 xC、x y, y 0

y, y 0

D、x 0, y 0

例：求下列函数的极限：(1) limx 0 y 0

x sin ay xy 1 13

(2) limx 0 y 0

x y sin2 2 2 2

x y2 3

2

(x y ) 2

(3) limx 0 y 0

x | y| x y4

2

2

2

x 0 y 0

lim

x sin ay xy 1 1

lim

x sin ay ( xy 1 1) xy

x 0 y 0

a lim

sin ay ( xy 1 1) ay

x 0 y 0

a lim

sin ay 2 ay

y 0

2a

求极限

lim

x y sin2 2

2

2

x y3

2

2

x 0 y 0

(x y )2

解：令 : x 2 y 2 , 当( x , y) (0,0) 时, 0, lim x y sin2 2 2 2

x y3

2

2

x 0 y 0

lim

sin 3

0

(x y )2

lim

1 cos 3 2

0

lim

sin 6

0

1 6

求极限

lim

xy 2 xy 4

x 0 y 0

解：

lim

xy 2 xy 4x y( 2 (2 x y 4) x y 4)

x 0 y 0

limx

0 y 0

x y 4 )( 2 x y 4)

lim

x y( 2

x 0 y 0

xy

lim ( 2 x 0 y 0

x y 4)

lim ( 2 0

4 ) ( 2 0 4 ) 4

(二)多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导(高阶),隐函数的求导和全微分、 条件极值 (1)多元函数的定义域、极限、连续 要点：I:求二元函数在某点的极限3

x 0 y 0

lim

x | y |2 x y24 2

2

03 3

1

因 x y 2 x | y |,

4

2

0

x | y |2 x y4 2

2

x | y |2 2x | y |2

2

| y |2 2

0