离散型随机变量 及其分布列

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总结： 随机变量的分类随机变量

离散型

连续型

随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量. 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.

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第二节 离散型随机变量 及其分布列一、离散型随机变量的分布列 二、常见离散型随机变量的分布列 三、小结

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引入分布的原因以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.

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引例：从盒中任取3 球， 记 X 为取 到白球数。则 X 是一随机变量。 X 可能取的值为: 0, 1, 2。取各值的概率为 2 1 3 C3 C2 6 C3 1 P( X 0) 3 , P ( X 1) 3 , C5 10 C5 102

且

这个就是随机变量X 的概率分布。

k 0

P( X

C C 3 P ( X 2) , 3 C5 10

1 3

2 2

k ) 1。

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一、离散型随机变量的分布列定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为

xk (k 1,2, ), 若X 取各个可能值的概率为 P{ X xk } pk , k 1,2, . 则称上式为离散型随机变量 X 的分布列 (或概率分布、分布律).离散型随机变量的分布列也可表示为

Xpk

x1 p1

x2 xn p2 pn

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分布列的性质任一离散型随机变量的分布列 都具有下述两个性质：

pk 非负性 规范性

pk 0, k 1,2,

pk 1k 1

用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律

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例题1: 设随机变量X的分布列为

a P X k , k 1,2, , N , N

试确定常数a.

解 由离散型随机变量分布列的性质(2)规范性，

a a P{ X k} N N N 1 k 1 k 1

N

N

a 1

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56页1题1. 判断下面各数列是否为随机变量的分布列，并说明理由.

5 i2 i , i 0,1,2,3 ; , i 0,1,2,3,4,5 ; (1) pi (2) pi 6 15解 验证 p i 是否满足下列两个条件：① pi 0, i 1,2, ,②

pi

i

1.

(1)中的数列为随机变量的分布律； (2)中的数列不是随机变量的分布律，

5 9 4 0 因为 p3 6 6

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例2:某篮球运动员投中篮筐概率是0.9,求其两次独

立投篮后，投中次数 X 的概率分布。

解：X 可取的值为 ：0, 1, 2,且 P(X=0) = 0.1*0.1 = 0.01, P(X=1) = 0.9*0.1+ 0.1*0.9= 0.18 ,X 的概率分布 P(X=2) = 0.9*0.9= 0.81 .X P 0 0.01 1 0.18 2 0.81

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练习 设袋中装有6个球，编号为{1,1,2,2,2,3},从 袋中任取一球，记取到的球的编号为X,

求：(1)X 的分布列；(2)编号大于1的概率.

解

(1)因为 X 可取的值为 1,2,3,而且1 P{ X 1} 31 P{ X 2} 2

1 P{ X 3} 62 1/2 3 1/6

X 的分布列为:X P 1 1/3

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练习 设袋中装有6个球，编号为{

1,1,2,2,2,3},从 袋中任取一球，记取到的球的编号为X,

求：(1)X 的分布列；(2)编号大于1的概率.

解：事件“编号大于 1”可用随机变量 X 表示为 { X 1},有1 P{ X 2} 2

1 P{ X 3} 6

P{ X 1} P{ X 2} P{ X 3}

1 1 2 2 6 3

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56页2题一袋中有5个乒乓球，编号分别为1,2,3,4, 5,从中随机抽取3个，以X表示取出的3个球 中最大的号码，求X的分布列.解 依题意 X 可能取到的值为 3,4,5 ,1 1 P{ X 3} 3 C5 10P{ X 5} 1 C 6 3 C5 102 4

1 C32 3 P{ X 4} 3 C5 10X3 4 5

P

1 10

3 10

6 10

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二、几个重要的离散型随机变量及其分布列1、两点分布(也称(0-1)分布) 实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情 况.

1, X ( ) 0,X

反面, 正面.11 2

其分布律为

pk

0 1 2

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1、两点分布(也称(0-1)分布)定义：设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为 X = xk Pk 1 p 0 0<p<1 1-p 记为 X~B(1, P)。

则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布. 应用 场合

凡试验只有两个结果, 常用0 – 1分布描述, 如产 品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、

电力消耗是否超标等等.

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练习 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定 1, 取得不合格品, X 0, 取得合格品.X

0190 200

110 200

X 的分布列为:

pk

则随机变量 X 服从(0 -1)分布.

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2. 二项分布产生背景：n 重伯努利试验

设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A 设 P ( A) p (0 p 1), 此时P ( A) 1 p.二项分布定义：若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次

的概率为： X k Cnk p k (1 p)n k P记为 X ~ B(n, p).

k 0,1, 2, 3, n