聚焦高考数学创新题(周远方)

高考数学创新题(

湖北教省学究室研周远 方

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研究高数考学新题的意创和义价值校高选拔要有具创新质的人才潜，高考数就学必 须视对学重创生意新的考识，因查此，计设新题 是选拔创高素质才人必然的要. 认求真研创新究的特题，点可揣摩以题教命的 师设意图，计刻深领“能会力意立的”命指题导想， 准思把确握《考大试》纲的要求，对好高中数学教学 搞和复习备考是分十益有.的特 是别一令些人津乐津 道的秀创新题优，还可研究其独的特教学功，能可既 作教为学的题例、习练题测试题，更可、用作研究性教 学的题加以问开发.

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样怎究高考数研学新创？ 怎样研究题高数考学新创？题研究宗——深旨领会能刻力意的立题命导思指想深 刻领能力会意的立题命指思想导研 究旨宗试题背 试景设问题试题立意试题价

评 研究视 角

题试法解

题试展拓研究价值—对中学数—学教具学强有导力向作用 对学数学中教具学有强导向作用力研 究价值

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考纲对查创考新识意是何如界的？ 定考对考纲查创新识意是如何界的？定新颖对的息、信情和设境，选问择有效的方法 手和分析段信，息合与综灵活地应用学所数学知识的 思、想和方法进，行立独思考、的索和探究研提，出解决 问题思的路，造创地性解决问.题 新创意识理是思维性的层次高表.现 对学数题的 问观“、猜测、察象、概括抽、证”,是明发问题现 解和决问题重的要途径对，数知识的学移、组合迁、 合的程度融高越，示显的出创意新也识就越强 高.考学创新数是指从测量题考的发生展学力和 创造性学力着手性突出，力能考查新颖的问题.

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高考数创新学题的题指命何向在？高考 数学创题的新命指向题在何？一是加创强意新识的考查，有利实于选现拔功能 二.深是课化改促，能进立力命意题实的和践发.展一其对是力的成能分和要进行了必求要调整的.其二 是在命题实践进上了行新的尝试.数学内以容为点，基以基本的理和推思维求要为立足，突点考 出查生一般能学力的现表，测量生学的学能习力——选材立与意选材与 立；意 材与选立 意多元化以、途径、多开放式设问的景，背较客比、全面地观测量学生观 、察验试、想、联测、归猜纳类、比推广等、维思活动水的平， 激学发探索生神和精求异创思维——背景新设与 问景与设问背； 背景与问设 源于社会、源于生活以的问题查学生考，有效测地量生学象抽 、概以括及建数学立型的能模，力促使学认识生世、把界握题的问 本、质筹应划对策的——实略与际用应实 际与用应.实际与 用应其三是究开研发的试新题模式考和查方式.三控制难是

度，现“体题不难新、难不怪”题的特点.

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高考数创新学有哪题些常类型？ 见考高数创学题新有些常见类型？信哪 型息惴 背 景 探 索 悚 研 型究型 恘 恘 恘情 知境识过 程 立意 放开型 设 问

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高考学创新题“数 高数学考新创“新题在哪”里？ 在里哪一是？意立的明性鲜 ；二背景的深是刻；性三 情是的新境颖性 ；四是设的问巧性妙.

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一立、的意明性鲜立是试题的意考查的目，即以能立意为中力心， 选适当择考的查内，容计恰设当设的方问式把， 有具发能力展价、富有发展潜力值、生性再的强知识、 法方能、作力为入点切从，测考生的发展性学力 量创和造性学力着突手能力考查. 一出般以础基知识、本基方法数学思想为载体和， 其意的角立度多很如，考查础基知识灵的活应用性 ，查考数思想方法学，考以查学思维数力为重能点 的种各能力考，数查学应意识用和探究识，意考查 一步进学习等数高的学潜能.等

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意立鲜的明性—考点想多 立，的鲜明性—意考点想多，考点算少【例 1】 199 8年国全文卷第科 11题 ，科第 1 0 题 )例( 全国 卷 向理高 H为 的瓶中水水，注注 满止.为如 果注水量 与水V深 h的函 关数系的图如象右图示，那么水所的形瓶状是年江西卷理(2 07 0江西年卷理科 8第题) 四位好朋在一友聚会次，上们按他各照的自爱选好择形状了不同、内 高度相空等、杯口半相径等圆口酒杯的，图所如示，盛酒满他们后约定先：各自杯 饮中的酒一半.设余剩酒的高度从左右依到为次 1 h ,h 2 ,h , h3 4,则们它的大关系正确的小是A .h 2 >1 > h4 B. hh1 h>2> 3 hC.h3 >h 2> 4h D h2 . >4h >h1

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立意鲜明性—多考的点想 立意，的明鲜—性考多想，少考点算全国卷点理第科12题(2 001国全卷科理第 题如)图小圆，圈表网示 络国卷理全第科 的点结结，之间点连的线表示们有网它 线联.相连线标注数字的表该段网线示单时位 间可以通过内的最信大息量现从结点.A向 结点 B 传递 信息，息可信以分开不同的 沿路线时传同.则单位时间递内递的传大信最息量 A.为62 B.42 C2.0 .1D年全国9卷 Ⅰ(2006 年国卷Ⅰ理科全第 1 1)题用长分度别为2、3 4、、、5 (单6位：mc的)5 根细木 棒围一成三个角形允(许接，连但允许 折不断 )能够得，的三到角形最大的积面为A .85 cm 2 B.6 01cm 2 C. 535m c D.22 0mc2

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、背景的二深刻性是一等高数学景背. 一是高等学数景 背等数高学的本基思和方法是想考学生 查进一步习学良的素材好，很难在习复资料和模试拟题找中到 解，往往没有答现的方成可法套会使一些，考生到感以难手， 从入使其而具很好的区有度和甄分

别功. 二是新能课改革程背.景二 新是程改课背景 新革标课卷出能力立意命题突时俱与进的 特，点绕对围数学知识、性思维理、学数应与用新创数和 学文价人等四个方值的面考设计查试，题发开了些融知一、识方 、法想思能力与素质于、一体背的新景颖内涵、刻、富深 有新的创意新题，真正查考考出生的习潜能和个学性品.质 是实三际活生景. 背是实际三活生景背 在持“坚近生贴，背活公平，控景制 度难的原”下，则几近年用题的编拟更加应重视语简言、准洁确， 背清景、新人近模型具，、体明简，法熟悉、方简便 突出了对数，学想思法和方实践能力考的.查

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景背的刻深— 性背的深景刻性—高观点型【 例2 2】00 8湖北卷年理科第 5 题)1察观下列等式：】 ( 1 1 i =n2 +n , 2∑ i2 1=n 1 1 1 i2= n3 + 2 n + n ∑,3 2 6 i=1 n1 1 1 i =3 n +4 n3 +n 2 , ∑ 42 4 i=1 n1 11 1∑ i4 5=n 5 +2 n4+ 3 3n 30 n ,i 1=n 1 1 5 i 51 n 6=+ n5 n+4 n 2,∑ 261 122 =1i………………………………………………

n∑i =i1n

k

=ak+1 n +1 k a+ k n k +ak 1n k +1 k a 2 nk 2 L+ +a1n + a0 , 可推以，测 k当 ≥ (2k ∈N *)时， a k+ 1=

11 ,ak = ,ka = k 11 +2,ak 2=

.背景【 背景】于前关 n个 整数同正幂次求和题问，是就著雅各 伯名努(利Jcoab eBnrouli)数，尽管l 背 景关相果结证的明分十复杂但，中列题出前的项几的律规性非明显.

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常背的深刻景性 背—景的深刻性—高点型观年湖北理科卷21题第( 207年湖北0卷理第科 )题知 已m n ,正为整数.年湖北卷理科第 ( )用Ⅰ数归纳学证明：法 当 x >1 ,时(1 + x )m 1 + ≥xm; 1 n1 nm (1)Ⅱ对于n ≥ 6,已知 ( 1 < ),证求 (1 ) <( m) ,m =1, 2,L , n; n+ 3 n+232 ( Ⅲ)求出足等满 3n式 4+n L ++ (n+ 2 n )=( n+ 3 )n的所 正有整数 .n问的 景： 第(背)问Ⅰ的景背：义广努贝(B利rneoulli不等)的一式个式； 1 变问的景背： (第)Ⅱ问背的：源景重要于l m(i1 +n )=e 所 出导一个的不式； 等n→ ∞ 问的n景背：第(Ⅲ)问的背 景源于埃：斯特柯Es(oct)猜想t不定方程问题的 ., 湖卷理科第北 2(009年 湖卷理北科 15 第题)知数列已 an }{ 满： 足a 1= m ( m正整数为) a n当 a为偶数时n, ,an + 1= 2若 a 6= 1, 则m 所可能的取有值 为a3+ 1, 当a为 奇数.时 n n 背景【背景】世 数学名题“3x+界 问1题，”俗角谷猜称.想背 景

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立.要意素：立意 素：要逆推理与向法算想思开始 4 125 61 8 432

入 x

输 否3加1

乘否偶数 是 除以是

是否2于 1大是

2 结1否 输 y=1出束

背景

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的刻深— 背性的深景刻—实际应用性【例 3型】 208

0年湖卷北理文第 科01题) 图如，“娥嫦一号” 例( 探卫月沿星地月转移道飞向月轨， 球在球附月一点 近P变轨 进以入 月球心球 为F个一点的焦椭圆轨道绕月Ⅰ飞行，后卫星在之P 点 二次变轨第入进以仍F 为一 个焦的点圆轨道椭绕月Ⅱ行飞最， 终星卫 在 P点三次第变入以 F 轨为圆的圆形轨心道Ⅲ月飞绕行 . 若 用c2 和1 22 c别表分示圆轨道椭ⅠⅡ的和距，焦用 21a 和22 a分别表 示圆轨椭Ⅰ和道的长Ⅱ轴的，长给出列式下： 子①a1 +c1 = 2 + a2c; ② a c1 =1a 2c2 ; c 12 c ④ < . ③1a2 c> ac1 2; a1a2 其 中正确子的式序是号A. ③ B.① ② C③.① D④ ②.④试

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题景背 嫦：娥一号 ”试背题景“:娥一嫦号”的轨道意示图

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试背题景： 试背题景大纲：教材中版相关材

素立意要

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: 立素意素：要选的几何性质项① a 1 +c1= 2a + c 2; ②a 11c= a2 c2 ③; c a 21> a 1c2 ;④ 1 cc2 < a.1 2aa1 + c1 = F| | Q与 a + 2 2 =|cF R|——分别表椭示轨道Ⅰ和Ⅱ圆月点的远离距；a1 c1 = PF | | 与 2a c 2 |=P F |— —分别表椭圆轨道Ⅰ和示Ⅱ月近点的距离；

c c12= e 与 = e2 1a a12——别分示表圆椭轨道Ⅰ和Ⅱ离心率.的

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试题究研 ：题研究试椭圆轨道的：何性几质性【质 】近1月点离距的不变性性 质月点近离的不变距性： 近点月距离的不性变

a c1 = 1a 2c2 a 1 1( e1 ) = 2 a( 12 e).性质【2 】月点远离距逐减小渐： 远】点距离月逐渐小减：

a 1 c+1 >a 2 c+ 2 a1 (1 + 1e )> a (1 + 2e 2.)性【 质】共一条对称3 轴P 、Q一顶个 点P和一 焦点个 】 的两个椭F圆ⅠⅡ,除与公去点共 P 之，外

圆椭Ⅱ在椭圆Ⅰ内之 e2 <1.e

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题研究试 试题研究：:何性质的拓展几图如设有共，条一对称 PQ 轴一个、点顶P 和一 个焦 点 F n 个 的椭 圆C ,1C 2 , ,L Cn 记 ，a2i、 2ib和 2 ic 别表示分椭圆Ci i (= , 12, nL )的 长轴长、的轴短的和焦长距则有，(1 )a1+ c 1> a + c2 2> L> a n +cn ; 2) a1( c1 = a 2 c 2 = =La n c n ;

PF

c1 2c(3) > L > >1 a 2a b1b 2 4() << L <a1a 2c ; an nnb ;na

CnC2

QC1b2nb12 b 22 (5) . >L> > a1a 2 an

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题评试： 试题价价评：统数据说计明2008年考高学数北湖选择题第卷题 生考选比率分布 项年考数高学北湖选择题卷1第题考0选项比率生布 分年高考学湖北数卷选择题第科类 文科理科 答案 BB 选项 布分 (% )) 6A45 3.6.9B 3913 .5.745C 1 641. .168 D 3.708 3.24 空8 .0210. 1 难1 0度.9 0.536 分度区 .20 7.033从考生答的选项卷率比布分情况来，本看非正确题选的项选 率答虽均属常，正其但文科中选择正答案B确的生只占考39 .31%而误选答，案D考生的高37.8达0%两者，分十近；接与文科 比，理科相有超半数以上的过生选考了正确择案答 B(占5.745),%但误选答案的D考仍生有3占.42%.8 表这 部分明生对③式考与式④的识别在存模着两棱的可象现.若 将原题③中与式式的④不号等互换下一这样，②两④ 式确，正确正案答成变选，会D降此低的题度.