信息光学(第二版)02-数学基础1-常用函数

第一部分 数学基础

§0-1 常用函数 —变型

f(x)

x

f(x- x0) x0 x

f(x/a) x

f(-x) x

bf(x) -f(x) x x

平移

(原点移至x0)

比例缩放

折叠

取反

与f(x)关于x轴 镜像对称

倍乘

y方向幅度变 化

a>1, 在x方向展宽a倍 与f(x)关于y轴 a<1, 在x方向压缩a倍 镜像对称

§0-1 常用函数—变型（例）

例: f(x)={ x, 0

先折叠

f(-x) -1 0

0<x<1 其它

0

f(x) 1x

求 f(-2x+4)

解： f(-2x+4)= f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移

再压缩

f(-2x)

最后平移

f[-2(x-2)]

x

-1/2 0

x

0

3/2

x

练习：f(x)={cos(x), |x| p/2

0 其它

求 f(-x/2+p/4)

§0-1 常用函数—变型（练习）

f(x)={ cos(x), |x| p/2 0 其它 求 f (-x/2+p/4)

-p/2 f(x) x

0

p/2

解： f(-x/2+p/4)= f[- (x- p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移 先折叠， 偶函数折叠后不变 再扩展, 最后平移

-p/2 f(-x) x

0

p/2

注意：曲线下面积:

S f ( x)dx

-

在缩放前后的变化

§0-1 常用函数

注意:1.函数在时域和空域各代表什么物理对象 2. 一维向二维扩展,各代表什么物理对象

一. 阶跃函数 Step Function

定义: Step(x)=

Step(x) x 0 x

{

1 , x>0 1/2, x=0 0, x<0

1

0

代表：开关, 无穷大半平面屏

§0-1 常用函数 (续)

二. 符号函数 Signum

定义: Sgn(x)=

{

1 , x>0 0, x=0 -1, x<0

与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1

原型

1 0 Sgn(x) x

-1

代表“p”相移器、反相器

§0-1 常用函数 (续)

三.矩形函数 Rectangle Function 定义

x - x0 1 1 x - x0 1, x 1, rect( x) ) a 2 2 , 标准型 : rect( a 其它 0, 其它 0,

原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数

1 rect(x) x -1/2 0 1/2

快门; 单缝, 矩孔,区域限定

y

0

x0 a

x

x - x0 rect ( ) a

y

a

x0, y0

b x

0

a

x - x0 y - y0 rect ( ) rect ( ) a b

§0-1 常用函数 (续)

四、三角形函数 Triangle Function

x - x0 1 - x , x 1 x - x0 , 1 原型 : tri( x) , 标准型 : tri( ) a a 其它 0, 0,

tri(x) -1 0 1 1 x -a+x0 1 x0 x a+x0

x - x0 1 a 其它

底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1

底宽:2|a|, 面积: S= |a|

又写成：L(x) 要关注它和矩形函数的关系

§0-1 常用函数 (续)

五、sinc函数

sin(px) 原型 : sinc( x) , px

sinc(x) 1 -1 1

x - x0 标准型 : sinc( ) a

1

a+x0 x

0

x

特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0

x

x0 -a+x0

曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x= n (n=1, 2, 3…)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2

§0-1 常用函数

五.sinc函数(续) Sinc函数的重要性:

数学上,sinc函数和rect函 数互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲 rect(t)的频谱是sinc函数; 单缝的夫琅和费衍射花 样是sinc函数

附: sinc2函数 sinc2(x)=[sinc(x)]2

sin2(px) (px)2

sinc (x) sinc2(x) 1

-1

0

1

x

二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)

sinc2(0)=1, S = 1 与sinc(x) 相比,曲线形状不同, 但