解排列组合问题的十七种常用策略-人教版[原创]

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类 . 计数原理。 计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略; 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运 掌握解决排列组合问题的常用策略 用解题策略解决简单的综合应用题。 用解题策略解决简单的综合应用题。提高 学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组 3.学会应用数学思想和方法解决排列组 合问题. 合问题.

复习巩固1.分类计数原理 加法原理) 1.分类计数原理(加法原理) 分类计数原理( 完成一件事， 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 类办法，在第1 种不同的方法，在第2类办法中有m m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法， 在第n类办法中有m 同的方法，…,在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有： 方法，那么完成这件事共有：

N=m1 +m2 + L +mn种不同的方法. 种不同的方法.

2.分步计数原理(乘法原理) 2.分步计数原理(乘法原理) 分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有m m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方 做第n步有m 种不同的方法， 法，…,做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有： 成这件事共有：

N=m1 m 2 L m n种不同的方法. 种不同的方法. 3.分类计数原理 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立 方法相互独立， 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法 独立地完成这件事。 都可以独立地完成这件事 都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存 各步相互依存， 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段 不能完成整个事件. 一个阶段， 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.

解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1.认真审题弄清要做什么事 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 怎样做才能完成所要做的事, 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行, 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。 少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题 有序) 确定每一步或每一类是排列问题( 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题, 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素. 少个元素. 解决排列组合综合性问题， ※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策

略

一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 由 可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 五位奇数 由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 解:由于末位和首位有特殊要求 应该优先安 由于末位和首位有特殊要求 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 以免不合要求的元素占了这两个位置 1 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 先排末位共有___ 先排末位共有 C 3 题最常用也是最基本的方法, 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 1 然后排首位共有 C4,再处理其它元素.若以 需先安排特殊元素, 主,然后排首位共有___再处理其它元素. 需先安排特殊元素 最后排其它位置共有___ 3 最后排其它位置共有 A 43 C 1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求, C 1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 A4 4 3 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 处理其它位置。若有多个约束条件， 1 1 A3 由分步计数原理得 C 3 C4 4 =288 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题

1.7种不同的花种在排成一列的花盆里, 1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两 种葵花不种在中间， 种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 问有多少不同的种法？ 4 5 里，问有多少不同的种法？ A 2 A5 = 1440

二.相邻元素捆绑策略 7人站成一排 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 共有多少种不同的排法. 邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素， 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题, 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用甲乙 丙丁

捆绑法来解决问题. 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 5 2 2 由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 =480 为一个元素,再与其它元素一起作排列, 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 种不同的排法 要注意合并元素内部也必须排列. 要注意合并元素内部也必须排列.

练习题 某人射击8 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好 命中4 有3枪连在一起的情形的不同种数为 ( 20 )

三.不相邻问题插空策略 一个晚会的节目有4个舞蹈, 个相声, 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场, 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 场顺序有多少种？ 分两步进行第一步排2个相声和3 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 5 第二步将4 第二步将4舞蹈插

入第一步排 有 A5 种， 好的6 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 4 种 A6 不同的方法 由分步计数原理,节目的 4 5 不同顺序共有A5 A6 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 相 独 独 独 相 行排队再把不相邻元素插入中间和两端

练习题

某班新年联欢会原定的5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目. 目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中， 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻， 个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为(30 )

四.定序问题倍缩空位插入策略 4.7人排队 其中甲乙丙3 人排队, 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法 倍缩法) 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题, 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数, 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 7 A7 是： 3 A3 空位法)设想有7 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外 A 74 种方法，其余的三个 种方法， 的四人就坐共有 1 种坐法，则共有 A 74 种 种坐法， 位置甲乙丙共有 方法 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法, 把其余4四人依次 依次插入共有 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法 定序问题可以用倍缩法， 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理

练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 人身高各不相等 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

C

5 10

五.重排问题求幂策略 5.把 名实习生分配到7个车间实习, 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法 完成此事共分六步: 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 种分法. 到车间有7种分法. 把第二名实习生分配 到车间也有7种分法， 依此类推, 到车间也有7种分法， 依此类推,由分步计 数原理共有7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束， 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 各个元素的位置，一般地 不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 n 种 制地安排在 个位置上的排列数为 m6

练习题 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这

两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为( 42 ) 层大楼一楼电梯上来8名乘客人, 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯, 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8 ( ) 7

六.环排问题线排策略 5人围桌而坐 共有多少种坐法? 人围桌而坐, 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 坐成一排的不同点在于， 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即(5-1)! 1)!

一般地, 一般地,n个不同元素作圆形排 B A A B C D E C 共有( 1)!种排法 种排法. 列,共有(n-1)!种排法.如果 A 个不同元素中取出m 从n个不同元素中取出m个元素 D m E 1 An 作圆形排列共有 m