平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入

3+i 1.(2010· 天津高考)i 是虚数单位，复数 =________. 1-i

3+i 3+i 1+i 2+4i 解析： = = =1+2i. 2 1-i 1-i 1+i

答案： 1+2i

i 2.(2010· 陕西高考改编)复数 z= 在复平面上对应的点位 1+i 于第________象限. i 1-i 1+i 1 1 i 解析：因为 z= = = = + i,所以对应点 1+i 1+i 1-i 1+1 2 2

1 1 ( , )在第一象限. 2 2

答案：一

3.(2010· 江西高考改编)已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为 ________.解析：由(x+i)(1-i)=y 得(x+1)+(1-x)i=y, 又因 x,y 为实数， x+1=y 所以有 1-x=0 x=1 ,解得 y=2

.

答案： 1,2

4.已知复数z与(z-2)2-8i都是纯虚数，则z=________.解析：设 z=bi(b∈R,且 b≠0),则(z-2)2-8i=(bi-2)2-8i= (4-b2)-(4b+8)i 是纯虚数. 4-b2=0 ∴ 4b+8≠0

,解得 b=2,∴z=2i.

答案：2i

z 5. z 的共轭复数是 z , z+ z =4, z =8, z 等于________. 设 若 z· 则- - -

-

解析：令

2x=4, z=x+yi,(x,y∈R),则 2 2 x +y =8, x=2, 或 y=-2,

x=2, 得 y=2,

z 不难得出 z =± i.

-

答案： ±i

1.复数的有关概念 内容 复数 的 意义 形如 a+bi(a,b∈R) 的数叫复 数，其中实部为 a ,虚部为 b 备注 若 b=0 ,则a+bi为实 数，若 a=0,b≠0 ,则

概念

a+bi为纯虚数

复数 a+bi=c+di 相等 a=c,b=d (a,b,c,d∈R) 共轭 a+bi与c+di共轭 复数 a=c,b=-d(a,b,c,d∈R)

内容

意义 建立平面直角坐标系来表示 复数的平面，叫做复平面，x 轴叫 实轴 ，y 轴叫 虚轴

备注 实轴上的点都表示 实数； 除了原点外， 虚轴上的点都表示 纯虚数

复平 面

复数 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z=a |z|=|a+bi|=

的模 +bi(a,b∈R)的模

a2+b2 (a, b∈R)

2.复数的几何意义 复数 z=a+bi 与复平面内的点 (a,b) 与平面向量 OZ (a, b ∈R)是一一对应的关系.

3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ③乘法：z1·2=(a+bi)· z (c+di)= ac-bd+(ad+bc)i z1 a+bi a+bi c-di ac+bd + bc-ad i ④除法： = = = z2 c+di c+di c-di c2+d2 (c+di≠0).

(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、 z3∈C,有z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .

考点一

复数的概念

当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2)+(m2+

3m+2)i,(1)为纯虚数

; (2)为实数； (3)对应的点在复平面内的第二象限内.

[自主解答] (1)若 z 解得 m=3. (2)若 z

lg m2-2m-2 =0, 为纯虚数，则 2 m +3m+2≠0.

m2-2m-2>0, 为实数，则 2 m +3m+2=0.

解得 m=-1 或 m=-2.

(3)若 z 的对应点在第二象限， lg m2-2m-2 <0, 2 则 m -2m-2>0, m2+3m+2>0. 解得-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3.