2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(解析版)

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2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.

1．若集合A={x |y=2x }，集合，则A ∩B=（ ）

A ．（0，+∞）

B ．（1，+∞）

C ．[0，+∞）

D ．（﹣∞，+∞）

2．为了得到函数y=3sin （2x +），x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin （x +），x ∈R 的图象上所有的点的（ ）

A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B ．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D ．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

3．双曲线

﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=x ，则该双曲线的离心率是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．在复平面内，复数z=（|a |﹣1）+（a +1）i （a ∈R ，i 为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（ ）

A ．a ≥﹣1

B ．a ＞﹣1

C ．a ≤﹣1

D ．a ＜﹣1

5．已知直线2x +y ﹣3=0的倾斜角为θ，则

的值是（ ）

A ．﹣3

B ．﹣2

C ．

D ．3 6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于39的概率为（ ）

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A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则•

的取值范围是（ ）

A ．[﹣1，0]

B ．[﹣1，2]

C ．[﹣1，3]

D ．[﹣1，4]

8．已知正项等比数列{a n }满足a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=8，则a 6+a 7的最小值为（ ） A ．4 B ．16 C ．24 D ．32

9．已知f （x ）=x 2++c （b ，c 为常数）和g （x ）=x +是定义在M={x |1≤x ≤4}上的函数，对任意的x ∈M ，存在x 0∈M 使得f （x ）≥f （x 0），g （x ）≥g （x 0），且f （x 0）=g （x 0），则f （x ）在集合M 上的最大值为（ ）

A ．

B ．5

C ．6

D ．8

10．已知抛物线x 2=4py （p ＞0）的焦点F ，直线y=x +2与该抛物线交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若•+（+）•=﹣1﹣5p 2，则p 的值为（ ）

A ．

B ．

C ．1

D ．2

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是______．

12．在x （x ﹣1）5展开式中含x 3项的系数是______（用数字作答）．

13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有______个．（用数字作答）

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14．已知点P 在单位圆x 2+y 2=1上运动，P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，则d 1+d 2的最小值是______．

15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b=，设f （x ）=（x 2﹣2x ）⊕（x +3），若函数g （x ）=f （x ）+k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；

（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；

（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．

17．已知函数f （x ）=cos 4x ﹣2sinxcosx ﹣sin 4x ．

（1）若x 是某三角形的一个内角，且f （x ）=﹣

，求角x 的大小； （2）当x ∈[0，]时，求f （x ）的最小值及取得最小值时x 的集合．

18．已知二次函数f （x ）=x 2+4x +m （m ∈R ，m 为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C ．

（I ）求m 的取值范围；

（Ⅱ）试证明圆C 过定点（与m 的取值无关），并求出该定点的坐标．

19．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{b n }的前n 项和T n 满足：b 1=1，b n +1﹣2T n =1．

（1）求S n 与b n ；

（2）比较S n b n 与2T n a n 的大小，并说明理由．

20．在平面直角坐标系中，动点M 到定点F （﹣1，0）的距离和它到直线l ：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M 的轨迹为T ．

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（1）求轨迹T 的方程；

（2）过点F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，与轨迹T 是否存在点Q ，使得四边形APBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f （x ）=lnx ﹣mx （m ∈R ）．

（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）当m ≥时，设g （x ）=2f （x ）+x 2的两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）恰为h （x ）

=lnx ﹣cx 2﹣bx 的零点，求y=（x 1﹣x 2）h ′（

）的最小值．

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2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.

1．若集合A={x |y=2x }，集合，则A ∩B=（ ）

A ．（0，+∞）

B ．（1，+∞）

C ．[0，+∞）

D ．（﹣∞，+∞）

【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．

【分析】求出集合A 中函数的定义域确定出A ，求出集合B 中函数的定义域确定出B ，求出A 与B 的交集即可．

【解答】解：集合A 中的函数y=2x ，x ∈R ，即A=R ，

集合B 中的函数y=，x ≥0，即B=[0，+∞），

则A ∩B=[0，+∞）．

故选C

2．为了得到函数y=3sin （2x +），x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin （x +），x ∈R 的图象上所有的点的（ ）

A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B ．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D ．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．

【分析】得到函数

的图象，只需把函数的

图象上所有的点横坐标变为原来的一半

【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到

故选B ．

3．双曲线

﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=x ，则该双曲线的离心率是

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【考点】双曲线的简单性质．

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【分析】根据双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．

【解答】解：双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线的方程为：y=±x ， ∵双曲线的一条渐近线方程是y=x ，

∴=，

则离心率e=====．

故选：B

4．在复平面内，复数z=（|a |﹣1）+（a +1）i （a ∈R ，i 为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（ ）

A ．a ≥﹣1

B ．a ＞﹣1

C ．a ≤﹣1

D ．a ＜﹣1

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】由复数z 的实部大于0，且虚部小于0联立不等式组求得答案．

【解答】解：由z=（|a |﹣1）+（a +1）i 对应的点位于第四象限，

得，即a ＜﹣1．

∴复数z=（|a |﹣1）+（a +1）i 对应的点位于第四象限的充要条件是a ＜﹣1．

故选：D ．

5．已知直线2x +y ﹣3=0的倾斜角为θ，则

的值是（ ）

A ．﹣3

B ．﹣2

C ．

D ．3 【考点】同角三角函数基本关系的运用；直线的倾斜角．

【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系可得tan θ=﹣2，要求的式子可化为

，代入计算可得．

【解答】解：∵直线2x +y ﹣3=0的倾斜角为θ，

∴tan θ=﹣2，

∴

===． 故选：C ．

第7页（共19页） 6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于39的概率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】几何概型；程序框图．

【分析】根据程序框图求出x 的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可．

【解答】解：由程序框图知，第一次循环，n=1，满足条件n ≤3，y=2x +1，n=2， 第二次循环，n=2，满足条件n ≤3，y=2（2x +1）+1=4x +3，n=3，

第三次循环，n=3，满足条件n ≤3，y=2（4x +3）+1=8x +7，n=4，此时不满足条件n ≤3输出y=8x +7，

由8x +7≥39得x ≥4，

即4≤x ≤6，

则对应的概率P==，

故选：A

7．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（ ）

A ．[﹣1，0]

B ．[﹣1，2]

C ．[﹣1，3]

D ．[﹣1，4]

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】如图所示，由题意可得：点M 所在的圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1（0≤x ≤2，0≤y ≤2）．可设点M （x ，y ）可得

•=（x ﹣1）2+y 2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．

【解答】解：如图所示，

由题意可得：点M 所在的圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1（0≤x ≤2，0≤y ≤2）． 可设点M （x ，y ）

A （0，0），

B （2，0）．

∴•=（﹣x ，﹣y ）•（2﹣x ，﹣y ）=﹣x （2﹣x ）+y 2=（x ﹣1）2+y 2﹣1，

由

∈[0，2]，

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∴•∈[﹣1，3]，

故选：C ．

8．已知正项等比数列{a n }满足a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=8，则a 6+a 7的最小值为（ ） A ．4 B ．16 C ．24 D ．32

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合．

【分析】可判数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n +a n +1}的公比为x ，

a 2+a 3=a ，则x ∈（1，+∞），a 4+a 5=ax ，结合已知可得a=，代入可得y=a 6+a 7的表达式，x ∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．

【解答】解：∵数列{a n }是各项均为正的等比数列，

∴数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列，

设数列{a n +a n +1}的公比为x ，a 2+a 3=a ，

则x ∈（1，+∞），a 5+a 4=ax ，

∴有a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=ax ﹣a=8，即a=

，

∴y=a 6+a 7=ax 2=，x ∈（1，+∞）， 求导数可得y ′==，令y ′＞0可得x ＞2，

故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，

∴当x=2时，y=a 6+a 7取最小值：32．

故选：D ．

9．已知f （x ）=x 2++c （b ，c 为常数）和g （x ）=x +是定义在M={x |1≤x ≤4}上的函数，对任意的x ∈M ，存在x 0∈M 使得f （x ）≥f （x 0），g （x ）≥g （x 0），且f （x 0）=g （x 0），则f （x ）在集合M 上的最大值为（ ）

A ．

B ．5

C ．6

D ．8

【考点】函数的最值及其几何意义．

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【分析】由基本不等式可得g （x ）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f ′（x ）=x ﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．

【解答】解：∵g （x ）=x +≥2=1，

（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），

∴f （2）=2++c=g （2）=1，

∴c=﹣1﹣，

∴f （x ）=x 2+=x 2+﹣1﹣，

∴f ′（x ）=x ﹣=，

∵f （x ）在x=2处有最小值，

∴f ′（2）=0，

即b=8，故c=﹣5，

故f （x ）=x 2+﹣5，f ′（x ）=，

故f （x ）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，

而f （1）=+8﹣5=，f （4）=8+2﹣5=5，

故f （x ）的最大值为5，

故选：B ．

10．已知抛物线x 2=4py （p ＞0）的焦点F ，直线y=x +2与该抛物线交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若•+（+）•=﹣1﹣5p 2，则p 的值为（ ）

A ．

B ．

C ．1

D ．2

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把y=x +2代入x 2=4py 得x 2﹣4px ﹣8p=0．利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．

【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把y=x +2代入x 2=4py 得x 2﹣4px ﹣8p=0． 由韦达定理得x 1+x 2=4p ，x 1x 2=﹣8p ，所以M （2p ，2p +2），所以N 点（2p ，0）． 同理y 1+y 2=4p +4，y 1y 2=4

∵•+（+）•=﹣1﹣5p 2，

∴（﹣x 1，p ﹣y 1）•（﹣x 2，p ﹣y 2）+（﹣x 1﹣x 2，2p ﹣y 1﹣y 2）•（2p ，﹣p ）=﹣1﹣5p 2， 代入整理可得4p 2+4p ﹣3=0，

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∴p=．

故选：B ．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是 127 ．

【考点】众数、中位数、平均数．

【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．

【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，

所以中位数是=127．

故答案为：127．

12．在x （x ﹣1）5展开式中含x 3项的系数是 ﹣10 （用数字作答）．

【考点】二项式定理的应用．

【分析】把（x ﹣1）5 按照二项式定理展开，可得x （x ﹣1）5展开式中含x 3项的系数．

【解答】解：在x （x ﹣1）5=x •[x 5﹣5x 4+10x 3﹣10x 2+5x ﹣1]的开式中，

含x 3项的系数是﹣10，

故答案为：﹣10．

13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有 52 个．（用数字作答）

【考点】计数原理的应用．

【分析】分两类，第一类，个位为0，第二类，个位是2或4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加．

【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有A 52=20个；

第二类，个位是2或4，有C 21×C 41×C 41=32个，

∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，

故答案为：52．

14．已知点P 在单位圆x 2+y 2=1上运动，P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，则d 1+d 2的最小值是 5

﹣ ．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】设点P （cosu ，sinu ），求出P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，即可求出d 1+d 2的最小值．

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【解答】解：设点P （cosu ，sinu ），P 到直线3x ﹣4y ﹣l0=0的距离为d 1=|3cosu ﹣4sinu ﹣10|=（10﹣3cosu +4sinu ），

d 2=3﹣cosu ，∴d 1+d 2=（10﹣3cosu +4sinu ）+3﹣cosu=5+（4sinu ﹣8cosu ）=5+

sin （u ﹣t ），

∴它的最小值=5﹣

． 故答案为：5﹣

．

15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b=，设f （x ）=（x 2﹣2x ）⊕（x +3），若函数g （x ）=f （x ）+k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是 （﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1} ．

【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．

【分析】由条件根据新定义求得f （x ）的解析式，由题意可得f （x ）的图象和直线y=﹣k 有2个交点，数形结合求得k 的范围．

【解答】解：令（x 2﹣2x ）﹣（x +3）=1，

求得x=﹣1，或x=4，

故当x ≤﹣1或x ≥4时，

（x 2﹣2x ）﹣（x +3）≥1，f （x ）=x +3；

当x ∈（﹣1，4）时，

（x 2﹣2x ）﹣（x +3）＜1，f （x ）=x 2﹣2x ．

函数g （x ）=f （x ）+k 的图象与x 轴恰有两个公共点，

则f （x ）的图象和直线y=﹣k 有2个交点，

如图所示：

故有﹣k=﹣1，或2＜﹣k ＜3，或 7≤﹣k ＜8，

求得实数k 的取值范围为：（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．

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三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；

（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；

（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（I ）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．

（II ）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．

（III ）由已知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．

【解答】解：（I ）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为： 1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，

即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人． …

（II ）由（I ）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，

即不小于40岁的人的频数是25人，

∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×

=2人． …

（III ）由已知X=0，1，2，

P （X=0）=， P （X=1）=，

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P （X=2）=

，

∴EX=0×+1×+2×

=． …

17．已知函数f （x ）=cos 4x ﹣2sinxcosx ﹣sin 4x ．

（1）若x 是某三角形的一个内角，且f （x ）=﹣

，求角x 的大小； （2）当x ∈[0，]时，求f （x ）的最小值及取得最小值时x 的集合．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos （2x +）=﹣，根据x ∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．

（2）由x ∈[0，

]，可得2x +∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f （x ）的最小值为﹣，此时2x +=π，即x=

． 【解答】解：（1）∵f （x ）=cos 4x ﹣2sinxcosx ﹣sin 4x

=（cos 2x +sin 2x ）（cos 2x ﹣sin 2x ）﹣sin2x=cos2x ﹣sin2x

=

（cos2x ﹣sin2x ） =cos （2x +），

∴f （x ）=cos （2x +）=﹣，可得：cos （2x +

）=﹣． ∵由题意可得：x ∈（0，π），可得：2x +

∈（，），可得：2x +=或， ∴x=或．

（2）∵x ∈[0，]，

2x +∈[，

]

，

∴

cos

（2x

+）∈

[

﹣1

，

]

，

∴

f

（

x

）

=

cos

（2x

+

）∈[

﹣

，

1

]．

∴f

（

x ）的最小值为﹣

，此时

2x

+=

π

，即x=．

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18．已知二次函数f （x ）=x 2+4x +m （m ∈R ，m 为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C ．

（I ）求m 的取值范围；

（Ⅱ）试证明圆C 过定点（与m 的取值无关），并求出该定点的坐标．

【考点】二次函数的性质．

【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m 的范围；

（Ⅱ）设所求圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0，令y=0得到关于x 的方程，与已知方程为同一方程，确定出D 与F ，令x=0得到关于y 的方程，将y=m 代入表示出E ，将D 、E 、F 代入即可确定出圆C 的方程，进而可求圆C 经过定点．

【解答】解：（I ）令x=0，得抛物线与y 轴交点是（0，m ）；

令f （x ）=x 2+4x +m=0，

由题意得：m ≠0且△＞0，即m ≠0且16﹣4m ＞0

解得：m ＜4且m ≠0；

（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0，

令y=0得：x 2+Dx +F=0这与x 2+4x +m=0=是同一个方程，故D=4，F=m ；

令x=0得：y 2+Ey +F=0，此方程有一个根为m ，代入得出E=﹣m ﹣1，

∴圆C 的方程为x 2+y 2+4x ﹣（m +1）y +m=0．

∴x 2+y 2+4x ﹣y +（﹣y +1）m=0

∴，

∴或，

∴圆C 经过定点（0，1）和（﹣4，1）．

19．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{b n }的前n 项和T n 满足：b 1=1，b n +1﹣2T n =1．

（1）求S n 与b n ；

（2）比较S n b n 与2T n a n 的大小，并说明理由．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）由等差数列前n 项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出S n 与b n ；由，能求出数列{b n }的通项公式．

（2）推导出S n b n =（n 2+n ）•3n ﹣1，2T n a n =2n •（3n ﹣1），由此利用作差法能比较S n b n 与2T n a n 的大小．

【解答】解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，

∵S 5=30，S 10=110，

第15页（共19页） ∴，解得

∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，S n ==n 2+n ．…

对数列{b n }，由已知有b 2﹣2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3，

∴b 2=3b 1，（*）

又由已知b n +1﹣2T n =1，可得b n ﹣2T n ﹣1=1（n ≥2，n ∈N*），

两式相减得b n +1﹣b n ﹣2（T n ﹣T n ﹣1）=0，即b n +1﹣b n ﹣2b n =0（n ≥2，n ∈N*）， 整理得b n +1=3b n （n ≥2，n ∈N*），

结合（*）得（常数），n ∈N*，

∴数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，

∴b n =3n ﹣1．…

（2）2T n =b n +1﹣1=3n ﹣1，

∴S n b n =（n 2+n ）•3n ﹣1，2T n a n =2n •（3n ﹣1），

于是S n b n ﹣2T n a n =（n 2+n ）•3n ﹣1﹣2n •（3n ﹣1）=n [3n ﹣1（n ﹣5）+2]，…

当n ≤4（n ∈N *）时，S n b n ﹣2T n a n ＜0，即S n b n ＜2T n a n ；

当n ≥5（n ∈N *）时，S n b n ﹣2T n a n ＞0，即S n b n ＞2T n a n ．

∴当n ≤4（n ∈N *）时，S n b n ＜2T n a n ；当n ≥5（n ∈N *）时，S n b n ＞2T n a n ．…

20．在平面直角坐标系中，动点M 到定点F （﹣1，0）的距离和它到直线l ：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M 的轨迹为T ．

（1）求轨迹T 的方程；

（2）过点F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，与轨迹T 是否存在点Q ，使得四边形APBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（1）设动点M （x ，y ），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹T 的方程．

（2）假设存在Q （x 0，y 0）满足条件．设依题意设直线m 为x=ky ﹣1，联立，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky ﹣1=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线m 的方程．

【解答】解：（1）设动点M （x ，y ），

∵动点M 到定点F （﹣1，0）的距离和它到直线l ：x=﹣2的距离之比是常数， ∴由题意，得

，

第16页（共19页）

化简整理得C 的方程为

．

∴轨迹T 的方程为=1．… （2）假设存在Q （x 0，y 0）满足条件．设依题意设直线m 为x=ky ﹣1，

联立，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky ﹣1=0，

令M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），

则y 1+y 2=，x 1+x 2=k （y 1+y 2）﹣2=，…

∴AB 的中点N 的坐标为（，）．

∵PQ ⊥l ，∴直线PQ 的方程为y ﹣

=﹣k （x +），

令y=0，解得x=，即P （，0）．… ∵P 、Q 关于N 点对称，∴ =（ x 0），=（ y 0+0），

解得x 0=，y 0=，即Q （，）． …

∵点Q 在椭圆上，∴（

）2+2（）2=2， 解得k 2=，∴

，∴ =±， ∴m 的方程为y=

x +或y=﹣x ﹣． …

21．已知函数f （x ）=lnx ﹣mx （m ∈R ）．

（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）当m ≥时，设g （x ）=2f （x ）+x 2的两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）恰为h （x ）

=lnx ﹣cx 2﹣bx 的零点，求y=（x 1﹣x 2）h ′（

）的最小值． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（I ）求出函数f （x ）的导数，讨论m 的取值，利用导数判断函数f （x ）的单调性与单调区间；

（II ）对函数g （x ）求导数，利用极值的定义得出g'（x ）=0时存在两正根x 1，x 2；