新高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2-1柯西不等式学案新人教

新高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2-1柯西不等式学案新人教B版选修4_5

新高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2-1柯西

不等式学案新人教B版选修4_5

[对应学生用书P28]

[读教材·填要点]

1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式

(1)定理1(柯西不等式的代数形式)

设a1，a2，b1，b2均为实数，则

(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2.

上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.

(2)定理2(柯西不等式的向量形式)

设α，β为平面上的两个向量，则

|α||β|≥|α·β|

上式中等号成立⇔向量α和β共线(平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.

(3)定理3：设a1，a2，b1，b2为实数，则

a21＋a22＋b21＋b22≥ a1＋b 12＋a2＋b 22

等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使得

μa1＝λb1，μa2＝λb2.

(4)定理4(平面三角不等式)

设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则

a1－b 12＋a2－b 22＋b1－c 12＋b2－c 22a1－12＋a2－c22.

等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得：

μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)，μ(a2－b2)＝λ(b2－c2)．

(5)定理5：设α，β，γ为平面向量，则

|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|

当α－β，β－γ为非零向量时，上面不等式中等号成立⇔存在正常数λ，使得α－β＝λ(β－γ)⇔向量α－β与β－γ同向，即夹角为零．

2．柯西不等式的一般形式

定理设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n为实数，则(

a21＋a22＋…＋a2n b21＋b22＋…＋

1 / 8

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2 / 8b 2n ≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |，

其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n (当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n )

[小问题·大思维]

1．在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a 1a 2＝b 1b 2吗？

提示：不可以．当a 2·b 2＝0时，柯西不等式成立，

但a 1a 2＝b 1b 2

不成立．

2．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成a i ·b i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？ 提示：不可以，a i ·b i 的顺序要与左侧a i ，b i 的顺序一致．

3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？

提示：不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在．

[对应学生用书P29]

[例1] 已知a ，b ，c 为正数，且满足a cos 2θ＋b sin 2 θ<c ，求证：a cos 2θ＋b sin 2 θ<c . [思路点拨] 由柯西不等式直接证明即可．

[精解详析] 由柯西不等式，

得a cos 2θ＋b sin 2θ

≤[(a cos θ)2＋(b

sin θ)22

θ＋sin 2θ＝(a cos 2θ＋b sin 2θ<c .

∴a cos θ＋b

sin 2θ<c .

利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、

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3 / 8组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．

1．设a ，b 均为正实数，且a ＋b ＝2.

求证：a 22－a ＋b 2

2－b ≥2. 证明：根据柯西不等式，有

[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2 ≥⎝

⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2 ＝(a ＋b )2＝4.

∴a 22－a ＋b 22－b ≥42－a ＋2－b

＝2. ∴原不等式成立

.

[例2] 设a ，b ，c 为正数，且不全相等．

求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c . [思路点拨] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1

a ＋

b ，1

b ＋

c ，1

c ＋a ，然后利用柯西不等式解决．

[精解详析] 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；

1a ＋b ，1b ＋c ，1c ＋a ，则由柯西不等式得 (a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝

⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，① 即2(a ＋b ＋c )⎝

⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c

.

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4 / 8由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b

1a ＋b ＝b ＋c

1b ＋c ＝c ＋a

1c ＋a

⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a

＝b ＝c . 因题设，a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c

. 柯西不等式的结构特征可以记为(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2

，其中a i ，b i 均为正实数(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．

2．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2

a

≥a ＋b ＋c . 证明：∵⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c ) ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2·[(b )2＋(c )2＋(a )2] ≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c )2， 即⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2

a (a ＋

b ＋

c )≥(a ＋b ＋c )2， 又a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ＋c >0. ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2

a

≥a ＋b ＋c

.

[例3] 设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6 的最大值．

[思路点拨] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号． [精解详析] 根据柯西不等式

120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]

≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2

，

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5 / 8故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230.

当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，

即x ＝376，y ＝289，z ＝2215

时等号成立， 此时u max ＝2

30.

利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

3．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2

＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：根据柯西不等式可得，(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝14，所以要取到等号，必须满足x 1＝y 2＝z 3，结合x ＋2y ＋3z ＝14，可得x ＋y ＋z ＝3147

. 答案：3147

[对应学生用书

P30]

一、选择题

1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，25]

B ．[－210，210]

C ．[－10，10]

D ．(－5，5] 解析：∵a 2＋b 2＝10，

∴(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2，

即20≥(a ＋b )2，

∴－25≤a ＋b ≤2 5.

答案：A 2．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( ) A ．4

B ．2

C ．1

D ．14

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6 / 8解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1xy 2＝4，故选A. 答案：A

3．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是( )

A. 2

B ．1

C ．3

D ．9

解析：∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤4x 2＋5y 2·12＋12＝1·2＝ 2.

∴2x ＋5y 的最大值为 2.

答案：A

4．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝

a 21＋a 22＋…＋a 2n n ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，则P 与Q 的大小关系为( )

A ．P >Q

B ．P ≥Q

C ．P <Q

D ．不确定

解析：由柯西不等式知

(a 2

1＋a 22＋…＋a 2

n

≥a 1＋a 2＋…＋a n ，

∴ a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n .

即得

a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ，∴P ≥Q . 答案：B

二、填空题

5．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n

，则P 与Q 的大小________．

解析：由柯西不等式，得 P ＝am ·b m ＋nc ×d n ≤am 2＋nc 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫b m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d n 2＝am ＋nc × b m ＋d n

＝Q . 答案：P ≤Q

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7 / 86．(陕西高考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．

解析：由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，当且仅当m a ＝n b 时等号成立，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5. 答案： 5

7．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________．

解析：y ＝2cos x ＋3

1－cos 2x ＝2cos x ＋32sin 2x ≤cos 2x ＋sin 2x [22＋

322]＝22. 当且仅当cos x

sin 2x ＝232，即tan x ＝±

322时，函数有最大值22. 答案：22

8．已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z

的最小值为________． 解析：利用柯西不等式．

由于(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥ ⎝

⎛ x ·1x ＋y ·2y ＋ ⎭⎪⎫z ·3z 2＝36， 所以1x ＋4y ＋9z

≥36. 当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．∴1x ＋4y ＋9z

的最小值为36. 答案：36

三、解答题

9．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2

＝1.

求证：－23

≤c ≤1. 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，

所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.

由柯西不等式得：

(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，

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8 / 85(1－c 2)≥(1－c )2

，

整理得，3c 2－c －2≤0，

解得－23≤c ≤1.∴－23

≤c ≤1. 10．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．

解：由柯西不等式，得

[x ＋(－2)y ＋(－3)z ]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x 2＋y 2＋z 2)，

即(x －2y －3z )2≤14(x 2＋y 2＋z 2)，

即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)．

所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x ＝y －2＝z －3，即当x ＝27，y ＝－47，z ＝－67时，x 2＋y 2＋z 2的最小值为87

.

11．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求a 的最值． 解：由柯西不等式，有

(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2，

由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，

解得1≤a ≤2，当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立， 代入b ＝12，c ＝13，d ＝16

时，a max ＝2， 代入b ＝1，c ＝23，d ＝13

时，a min ＝1.