新高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2-1柯西不等式学案新人教

新高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2-1柯西不等式学案新人教B版选修4_5

新高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2-1柯西

不等式学案新人教B版选修4_5

[对应学生用书P28]

[读教材·填要点]

1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式

(1)定理1(柯西不等式的代数形式)

设a1，a2，b1，b2均为实数，则

(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2.

上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.

(2)定理2(柯西不等式的向量形式)

设α，β为平面上的两个向量，则

|α||β|≥|α·β|

上式中等号成立⇔向量α和β共线(平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.

(3)定理3：设a1，a2，b1，b2为实数，则

a21＋a22＋b21＋b22≥ a1＋b 12＋a2＋b 22

等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使得

μa1＝λb1，μa2＝λb2.

(4)定理4(平面三角不等式)

设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则

a1－b 12＋a2－b 22＋b1－c 12＋b2－c 22a1－12＋a2－c22.

等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得：

μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)，μ(a2－b2)＝λ(b2－c2)．

(5)定理5：设α，β，γ为平面向量，则

|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|

当α－β，β－γ为非零向量时，上面不等式中等号成立⇔存在正常数λ，使得α－β＝λ(β－γ)⇔向量α－β与β－γ同向，即夹角为零．

2．柯西不等式的一般形式

定理设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n为实数，则(

a21＋a22＋…＋a2n b21＋b22＋…＋

1 / 8

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2 / 8b 2n ≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |，

其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n (当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n )

[小问题·大思维]

1．在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a 1a 2＝b 1b 2吗？

提示：不可以．当a 2·b 2＝0时，柯西不等式成立，

但a 1a 2＝b 1b 2

不成立．

2．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成a i ·b i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？ 提示：不可以，a i ·b i 的顺序要与左侧a i ，b i 的顺序一致．

3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？

提示：不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在．

[对应学生用书P29]

[例1] 已知a ，b ，c 为正数，且满足a cos 2θ＋b sin 2 θ<c ，求证：a cos 2θ＋b sin 2 θ<c . [思路点拨] 由柯西不等式直接证明即可．

[精解详析] 由柯西不等式，

得a cos 2θ＋b sin 2θ

≤[(a cos θ)2＋(b

sin θ)22

θ＋sin 2θ＝(a cos 2θ＋b sin 2θ<c .

∴a cos θ＋b

sin 2θ<c .

利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、

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3 / 8组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．

1．设a ，b 均为正实数，且a ＋b ＝2.

求证：a 22－a ＋b 2

2－b ≥2. 证明：根据柯西不等式，有

[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2 ≥⎝

⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2 ＝(a ＋b )2＝4.

∴a 22－a ＋b 22－b ≥42－a ＋2－b

＝2. ∴原不等式成立

.

[例2] 设a ，b ，c 为正数，且不全相等．

求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c . [思路点拨] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1

a ＋

b ，1

b ＋

c ，1

c ＋a ，然后利用柯西不等式解决．

[精解详析] 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；

1a ＋b ，1b ＋c ，1c ＋a ，则由柯西不等式得 (a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝

⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，① 即2(a ＋b ＋c )⎝

⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c

.

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4 / 8由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b

1a ＋b ＝b ＋c

1b ＋c ＝c ＋a

1c ＋a

⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a

＝b ＝c . 因题设，a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c

. 柯西不等式的结构特征可以记为(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2

，其中a i ，b i 均为正实数(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．

2．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2

a

≥a ＋b ＋c . 证明：∵⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c ) ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2·[(b )2＋(c )2＋(a )2] ≥⎝ …… 此处隐藏：3584字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……