2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-全国1

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

P(A B) P(A) P(B)

如果事件A，B相互独立，那么

S 4πR

2

其中R表示球的半径

球的体积公式

V

P(A B) P(A) P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

43

πR 3

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkn k

P(n 01，，2， ，n) n(k) Cnp(1 p)

一、选择题

（1）设S x2x 1 0，T x3x 5 0，则S T （ ）

Ａ．

Ｂ． xx

1

2

Ｃ． xx

5 3

Ｄ． x

15 x 23

（2） 是第四象限角，cos Ａ．

5

13

Ｂ．

5 13

12

，sin （ ） 13

55Ｃ． Ｄ．

1212

6)，b (6，5)，则a与b（ ） （3）已知向量a ( 5，

Ａ．垂直

Ｂ．不垂直也不平行

Ｃ．平行且同向

Ｄ．平行且反向

0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ） （4）已知双曲线的离心率为2，焦点是( 4，

x2y2

1 Ａ．

412x2y2

1 Ｂ．

124x2y2

1 Ｃ．

106x2y2

1 Ｄ．

610

（5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） Ａ．36种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．192种 （6）下面给出四个点中，位于 Ａ．(0，2)

x y 1 0，

表示的平面区域内的点是（ ）

x y 1 0

Ｃ．(0， 2)

Ｄ．(2，0)

Ｂ．( 2，0)

（7）如图，正四棱柱ABCD A1BC11D1中，AA1 2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）

D1

3Ｃ．

5

4Ｄ．

5

1Ａ．

5

2Ｂ．

5

A1C1 B1

A

（8）设a 1，函数f(x) logax在区间 a，2a 上的最大值与最小值之差为（ ） Ｂ．2

Ｃ．

Ｄ．4

1

，则a 2

（9）f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x) f(x) g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的（ ） Ａ．充要条件 Ｃ．必要而不充分的条件

Ｂ．充分而不必要的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件

（10）函数y 2cos2x的一个单调增区间是（ ） Ａ．

ππ 44

Ｂ． 0

π 2

Ｃ．

π3π 44

Ｄ． ，π

π 2

（11）曲线y

1

3 4

x x在点 1 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） 3 3 2

9

Ｃ．

Ａ．

1 9

Ｂ．

2

1 3

Ｄ．

2 3

（12）抛物线y 4x的焦点为F，准线为l，经过Fx轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）

Ａ．4

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．8

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496

497 503 506 508 507 492 496 500 501 499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．

（14）函数y f(x)的图像与函数y log3x

(x 0)的图像关于直线y x对称，则

f(x) ____________．

（15）正四棱锥S ABCDS，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．

（16）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a 2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若a c 5，求b．

（18）（本小题满分12分）

某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率． （19）（本小题满分12分）

四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD，已知

ABC 45 ，AB 2，BC SA SB

（Ⅰ）证明：SA BC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小． （20）（本小题满分12分）

设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x [0，3]，都有f(x) c2成立，求c的取值范围． （21）（本小题满分12分）

设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1 b1 1，a3 b5 21，

a5 b3 13

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列

an

的前n项和Sn． bn

（22）（本小题满分12分）

x2y2

1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2已知椭圆32

的直线交椭圆于A，C两点，且AC BD，垂足为P．

x02y02

1； （Ⅰ）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：32

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题（必修＋选修1）参考答案

一、选择题

1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题

13．0.25 14．3x(x R) 15．三、解答题 17．解：

（Ⅰ）由a 2bsinA，根据正弦定理得sinA 2sinBsinA，所以sinB 由△ABC为锐角三角形得B

4π1 16． 33

1

， 2

π． 6

222

（Ⅱ）根据余弦定理，得b a c 2accosB 27 25 45 7．

所以，b 18．解：

（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．

P(A) (1 0.6)2 0.064，

P(A) 1 P(A) 1 0.064 0.936．

（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． “购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． B0表示事件：

“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． B1表示事件：则B B0 B1．

1P(B0) 0.63 0.216，P(B1) C3 0.62 0.4 0.432．

P(B) P(B0 B1) P(B0) P(B1)

0.216 0.432 0.648．

19．解法一：

（1）作，垂足为，连结

，由侧面底面，得底面ABCD．

因为SA SB，所以AO BO，

又∠ABC 45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知

SA⊥BC， 依题设AD∥BC，

故SA⊥AD，由AD BC ，

EA

B

SA

DSD

又AO ABsin45 DE⊥BC

，垂足为E，

则DE⊥平面SBC，连结SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．

sin∠ESD

EDAO

SDSD．

11

所以，直线SD与平面SBC所成的角为arcsin

解法二：

（Ⅰ）作SO⊥BC

，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

因为SA SB，所以AO BO．

又∠

ABC 45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以

O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O xyz，

因为AO BO

AB ，

SO

1，

又BC

A，0)，

B(0，C(0． S(0，0，1)，SA

， 1)，

CB 0，所以SA⊥BC． CB (0，SA

（Ⅱ）SD SA AD SA CB 1)，OA ，0).

OA与SD的夹角记为 ，SD与平面ABC所成的角记为 ，因为OA为平面SBC的法向

量，所以 与 互余．

OA SDsin cos OASD

所以，直线SD与平面SBC所成的角为20．解：

（Ⅰ）f (x) 6x2 6ax 3b，

因为函数f(x)在x 1及x 2取得极值，则有f (1) 0，f (2) 0．

． 即

6 6a 3b 0，

24 12a 3b 0．

解得a 3，b 4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x) 2x3 9x2 12x 8c，

f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)．

1)时，f (x) 0； 当x (0，

，2)时，f (x) 0； 当x (1

3)时，f (x) 0． 当x (2，

所以，当x 1时，f(x)取得极大值f(1) 5 8c，又f(0) 8c，f(3) 9 8c． 则当x 0，3 时，f(x)的最大值为f(3) 9 8c． 因为对于任意的x 0，3 ，有f(x) c恒成立，

2

所以 9 8c c， 解得 c 1或c 9，

2

1) (9， )． 因此c的取值范围为( ，

21．解：

4

1 2d q 21，

（Ⅰ）设 an 的公差为d， bn 的公比为q，则依题意有q 0且 2

1 4d q 13，

解得d 2，q 2．

所以an 1 (n 1)d 2n 1，

bn qn 1 2n 1．

（Ⅱ）

an2n 1

n 1． bn2

352n 32n 1

n 1，① 12n 22222

52n 32n 1

2Sn 2 3 n 3 n 2，②

222

2222n 1

②－①得Sn 2 2 2 n 2 n 1，

2222Sn 1

1 2n 1 11

2 2 1 2 n 2 n 1

2 2 22

1

n 12n 1 2 2 n 1 121 2

2n 3 6 n 1．

2

1

22．证明

（Ⅰ）椭圆的半焦距c 1，

由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，

22故x0 y0 1，

2222

x0y0x0y01 ≤ 1． 所以，32222

（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k 0时，BD的方程为y k

(x 1)，代入椭圆方程

x2y2 1，并化简得(3k2 2)x2 6k2x 3k2 6 0． 32

设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则

6k23k2 6

x1 x2 2，x1x2 ， 2

3k 23k 2

BD x1 x2

因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为

1

． k

1 2 1

k 所以，AC ． 13 2 2k

四边形ABCD的面积

124(k2 1)2 (k2 1)296S BDAC ≥ ．

2(3k2 2)(2k2 3) (3k2 2) (2k2 3) 225

2

当k 1时，上式取等号．

（ⅱ）当BD的斜率k 0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S 4． 综上，四边形ABCD的面积的最小值为

2

96． 25