离散数学课后习题答案第五章

第十四章部分课后习题参考答案

5、设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、 (G)、 (G)。 解：由握手定理图G的度数之和为：2 10 20

3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。

其余顶点的度数均小于3，欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2, (G) 4, (G) 2.

7、设有向图D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D的入度列，并求 (D), (D)，

(D), (D), (D), (D).

解：D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D的入度列为1,1,1,2.

(D) 3, (D) 2, (D) 2, (D) 1, (D) 2, (D) 1

8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？

解：由握手定理图G的度数之和为：2 6 12

设2度点x个，则3 1 5 1 2x 12，x 2，该图有4个顶点.

14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。

(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；

18、设有3个4阶4条边的无向简单图G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。

证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以从同构的观点看，4阶4条边的无向简单图只有两个：

所以，G1、G2、G3至少有两个是同构的。

20、已知n阶无向简单图G有m条边，试求G的补图G的边数m 。

解：m

n(n 1)

m 2

21、无向图G如下图

(1)求G的全部点割集与边割集，指出其中的割点和桥； (2) 求G的点连通度k(G)与边连通度 (G)。

a解：点割集: {a,b},(d)

c

边割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5}

k(G)= (G)=1

23、求G的点连通度k(G)、边连通度 (G)与最小度数 (G)。

解：k(G) 2、 (G) 3 、 (G) 4

28、设n阶无向简单图为3-正则图，且边数m与n满足2n-3=m问这样的无向图有几种非同构的情况？

3n 2m解： 得

n=6,m=9.

2n 3 m

31、设图G和它的部图G的边数分别为m和m，试确定G的阶数。

解：m m

1 8(m m)n(n 1)

得n 22

45、有向图D如图

(1)求v2到v5长度为1，2，3，4的通路数；

(2)求v5到v5长度为1，2，3，4的回路数； (3)求D中长度为4的通路数；

(4)求D中长度小于或等于4的回路数； (5)写出D的可达矩阵。

v4

v3

解：有向图D的邻接矩阵为：

0 1A 0

1 0 0 4A4 0

4 0

0001 01

0100 000001 ，A2 01

0100 00

201010

010 20

002 02010 A3 20

002 02

00200

200

020 200

020 004

0004 01

0400 520004 A A2 A3 A4 21

0400 42

254040 215

522 215

522 254

(1)v2到v5长度为1，2，3，4的通路数为0,2,0,0； (2)v5到v5长度为1，2，3，4的回路数为0,0,4,0； (3)D中长度为4的通路数为32； (4)D中长度小于或等于4的回路数10；

1

1

(4)出D的可达矩阵P 1

1 1

1111

1111 1111

1111 1111

第十六章部分课后习题参考答案

1、画出所有5阶和7阶非同构的无向树.

2、一棵无向树T有5片树叶，3个2T有几个顶点?

解：设3度分支点x个，则

5 1 3 2 3x 2 (5 3 x 1)，解得x 3

T有11个顶点

3、无向树T有8个树叶，2个3度分支点，其余的分支点都是4度顶点，问T有几个4度分支点？根据T的度数列，请至少画出4棵非同构的无向树。

解：设4度分支点x个，则

8 1 2 3 4x 2 (8 2 x 1)，解得x 2

度数列

111111113344

4、棵无向树T有ni (i=2，3，…，k)个i度分支点，其余顶点都是树叶，问T应该有几片树叶?

解：设树叶x片，则

ni i x 1 2 (ni x 1)，解得x (i 2)ni 2

评论：2，3，4题都是用了两个结论,一是握手定理，二是m n 1

5、n(n≥3)阶无向树T的最大度

解：2，n-1

6、若n(n≥3)阶无向树T的最大度

解：n-1

7、证明：n(n≥2) 阶无向树不是欧拉图.

至少为几？最多为几？

=2，问T中最长的路径长度为几？

证明：无向树没有回路，因而不是欧拉图。 8、证明：n(n≥2) 阶无向树不是哈密顿图.

证明：无向树没有回路，因而不是哈密顿图。 9、证明：任何无向树T都是二部图.

证明：无向树没有回路，因而不存在技术长度的圈，是二部图。 10、什么样的无向树T既是欧拉图，又是哈密顿图?

解：一阶无向树

14、设e为无向连通图G中的一条边， e在G的任何生成树中，问e应有什么性质?

解：e是桥

15、设e为无向连通图G中的一条边， e不在G的任何生成树中， 问e应有什么性质?

解：e是环

23、已知n阶m条的无向图 G是k(k≥2)棵树组成的森林，证明：m = n-k.；

证明：数学归纳法。k=1时, m = n-1，结论成立；

设k=t-1(t-1 1)时，结论成立，当k=t时, 无向图 G是t棵树组成的森林,任取两棵树，每棵树任取一个顶点，这两个顶点连线。则所得新图有t-1棵树，所以m = n-（k-1）.

所以原图中m = n-k 得证。

24、在图16.6所示2图中，实边所示的生成子图T是该图的生成树.

(1)指出T的弦，及每条弦对应的基本回路和对应T的基本回路系统.

(2) 指出T的所有树枝， 及每条树枝对应的基本割集和对应T的基本割集系统.

(a) (b) 图16.16 解：(a)T的弦：c,d,g,h

T的基本回路系统: S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}} T的所有树枝: e,a,b,f

T的基本割集系统: S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}}

(b)有关问题仿照给出

25、求图16.17所示带权图中的最小生成树.

(a) (b)

图16.17

解：

注：答案不唯一。

37、画一棵权为3，4，5，6，7，8，9的最优2叉树，并计算出它的权.

38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码?

A1={0，10，110，1111} 是前缀码 A2={1，01，001，000} 是前缀码 A3={1，11，101，001，0011} 不是前缀码 A4={b，c，aa，ac，aba，abb，abc} 是前缀码 A5={ b，c，a，aa，ac，abc，abb，aba} 不是前缀码 41.设7个字母在通信中出现的频率如下:

a: 35% b: 20% c: 15% d: 10% e: 10% f: 5%

g: 5%

用Huffman算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树，指出每个字母对应的编码.并指出传输10n(n≥2)个按上述频率出现的字母，需要多少个二进制数字.

解：

a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110 W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255

传输10n(n≥2)个按上述频率出现的字母，需要255*10n-2个二进制数字.