数学与应用数学本科毕业论文

中国古代谚语中的概率思想

数学与计算机科学系数学与应用数学专业

摘要

文章通过从中国古代谚语中提取三句，“常在河边走，哪有不湿脚”

(小概率思想)，“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“三人行，则必有我师”，

用概率思想对其作一个崭新的诠释。并且联系现实生活，进一步说明

这些思想在生活之中的体现与应用。

关键词: 谚语 概率思想 概率论

The idea of probability in ancient Chinese proverb

Department of mathematics and computer science and

applied mathematics professional

ABSTRACT

The article extract three sentences from the ancient Chinese proverb,"often walk

near the river,which have not we feet "(small probability theory),"the three stooges ,top

of Zhu Geliang ","three of us are walking together ,there must be my teacher ", as a new

interpretation of the idea of probability .And linked to the real life , to further illustrate

the application of these ideas in life .

Key words : Proverb Probability thought Probability theory

1.引言

随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学无处不在。而

概率作为数学的一个重要部分，同样与生活有着密切的联系。人们习惯把数学称

作自然科学的皇后，因为自然科学和数学有着密切的联系；但数学与社会科学也

有着密切的联系，看似与数学一点儿关系的艺术都与数学有着一丝亲缘。

比如，《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，

这样一句话中包含着一定的数学思想。又如，曾有学者阐述一句古诗“孤帆远影

碧空尽，唯见长江天际流”包含着数学中的极限思想。当然这样的例子还有不少，

由此看来，中国古代汉语中有些词句包含着一定的数学思想。所以，遵循以上的

想法，本文就以汉语中的谚语为研究对象，寻找谚语中蕴含的概率思想。

中国古代谚语是我国古代人民智慧的体现，一句简单的谚语可能蕴含着一些

数学思想，而深入挖掘其中的数学思想有助于我们更深入的理解以及深层次地认

识它们。文章就以“中国古代谚语中的概率思想”为主题，寻找这些谚语中的概

率思想，让我们对之有一个新的认识。

关于“中国古代谚语中的概率思想”西藏大学学报上曾发表过一篇名为《谚

语中的概率论》的文章[5]，主要从谚语中提取了“一根筷子容易折，一把筷子坚如

铁”，“先下手为强，后下手遭殃”，“吃剩下的东西有福气”，“常赌无赢家”，“三

个臭皮匠，赛过诸葛亮”，“瞎猫也能碰见死老鼠”从概率论的角度予以证明。当

然文中也存在一定的不足之处，而这篇文章将从概率论的角度论证“常在河边走，

哪有不湿脚”，“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“三人行，则必有我师”这三句谚语，

一来与之相互补充，二来也使之构成一个完善的体系。

2.具体谚语的概率论分析

2.1常在河边走，哪有不湿脚[1][2]

“常在河边走，哪有不湿脚”，这句话用概率论的思想来说，就是小概率事件

[3]在大量的重复的条件之下必然发生。其中“某一次在河边走而湿脚”的概率是很

小的，我们可以称其为“小概率事件”。小概率原理，又称实际推断原理，是人们

在长期的实践中总结得出的结论：“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不发

生”。设事件A表示为“某一次在河边走而湿脚”，根据前面的说明，我们设P(A)=p,

这里0＜p≤0.01，那么一个人1次在河边走湿脚的概率为f1(p)=p， 2次在河边走

湿脚的概率为f2(p)=1 (1 p)2……n次在河边走湿脚的概率为fn(p)=1 (1 p)n，

（n 2）。由极限原理，由于0＜p≤0.01，所以lim fn(p)=lim{ 1-(1 p)n}=1,所

以n→∞，fn(p)→1。由此则说明“在河边走湿脚”的事件在大量的重复之下，是

必然会发生的。

取p=0.01，经计算f10(p)=0.0956, f20(p)=0.1821, f30(p)=0.2603, f40(p)=0.3310,

f50(p)=0.3950, f60(p)=0.4528, f70(p)=0.5052, f80(p)=0.5525, f90(p)=0.5955,

f100(p)=0.6340, f150(p)=0.7785, f200(p)= 0.8660，f300(p)= 0.9510,f400(p)=0.9820,

f500(p)= 0.9934,f600(p)= 0.9976,f700(p)=0.9991……

通过以上的数据，我们发现当n越来越大时，fn(p)≈1.00，也就是说，在大

量的重复之下，小概率事件“在河边走湿脚”必然发生。

2.2三个臭皮匠，顶个诸葛亮[1][2]

“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”意思是指多个（古汉语中的“三”为虚数，泛

指很多）水平一般的人，通过合作能够超过一个高水平的人。这体现了合作的重

要性。现我们假设“诸葛亮”仅一人，并记为A，“臭皮匠”有n个人（n大于等

于3），记为B1,B2,B3......Bn。对于一件事诸葛亮做成功的概率为P(A)（假设其值小

于1）,对于一群臭皮匠做成功的概率P(B1 B2 ...... Bn)=1 [1 P(Bi)][3]，那

么总存在一组概率值P(B1),P(B2),......,P(Bn)，使得P(B1 B2 ...... Bn)的值大于

P(A)。即对于同一件事，存在一组概率值使得臭皮匠做成功的概率大于诸葛亮做i 1n

成功的概率，即n个臭皮匠可以胜过一个诸葛亮。

假设对一件事,A（诸葛亮）做成功的概率为p(A)=0.85，而对于同一件事,B、

C、D（臭皮匠）做成功夺得概率为p(B) p(C) p(D)=0.5，显然B、C、D单独做

这件事成功的概率比A要小，若B、C、D合作完成一件事那么这件事做成功的概

率便为P=1-(1-0.5)(1-0.5)(1-0.5)=0.875。如此可见,水平一般的人通过在一起

合作能够战胜一个高水平的人。这就是当今许多的企业重视“团队精神”的原因：

因为一个有合作精神的团队能够使一件事更加出色的完成！

当然，这个道理结合物理学中的并联电路图，可以更加清晰的体现这个道理。

图1 图2

图3 我们来看图中的电阻，假设这些电阻之间无任何区别（电阻率、长度、横截

面积等影响电阻大小的因素完全相同），其大小均为R，并且把它们接入电路能使

电路正常工作的概率一样，则把它们接入到电路之中能够正常工作(即不发生断路

现象)的概率显然是，第一个图小于第二个图，第二个图又小于第三个图。设每个

电阻单独接入到电路中正常工作的概率为p(0 p 1),则第一幅图中的电阻接入

电路，可正常工作的概率为p；第二幅图中的电阻接入电路，可正常工作的概率为

1 (1 p)(1 p) 1 (1 p)2；第三幅图中的电阻接入电路，可正常工作的概率为

1 (1 p)(1 p)(1 p) 1 (1 p)3。显然，p<1 (1 p)2<1 (1 p)3。即说明随着并

联电阻个数的增加，其能正常工作的概率可以比某一个“优质”的电阻单独工作

时的概率大。

2.3三人行，则必有我师[1][2]

“三人行，则必有我师”这句话出自孔子的《论语》，意思是说：许多人在一

起行走，其中一定有能当我老师的人在那里。三，泛指多数。现代解释是说，许

多人同行，其他人各具优点和缺点，他们的优点我们要学习，他们有缺点，如果

自己有要改正；如果没有要自己注意加以防范，避免重蹈他们的覆辙。所以，他

们都可以是我的老师。接下来的论述，我们均采用“三人行，则必有我师”的原

意，在此以作说明。

那么，我们怎么证明“三人行，则必有我师”的正确性呢？假设现在有三人

（当然可以大于三人）在一起，记为1、2、3；又假设有一种知识，记为a，假设

事先不能确定这三人对知识a是否了解，分别记p1a p1,p2a p2,p3a p3表示为1、

2、3这三人对知识a了解概率，并假设p1,p2,p3不全为零。要求“三人行，有我

师”的概率，则要用到条件概率和事件独立性方面的公式。

条件概率[3]的定义是：对任意两个事件A和B，其中P(A)>0，事件B在“事件

A已发生”的条件下发生的概率，简称为“事件B关于事件A的条件概率”，记为

P(BA) P(AB)[3]。又若两个事件互不产生影响，即两个事件相互独立，则有P(A)

P(AB) P(A)P(B)成立。

基于以上的分析和公式，那么就很容易计算编号为2、3的人可成为1的老师

的概率了。显然，这是一个典型的条件概率，设A=“1对知识a不了解”，B=“编

号为2、3的人中至少有一人了解a”，由条件概率公式及A、B的独立性，可得所求概率为P(BA) P(AB)P(A)P(B) P(B)=1 (1 p2)(1 p3)[4]。 =P(A)P(A)

于是，会有以下几种情况：

若p2 p3=0，则P(BA)=0，2、3为1的老师的概率为零；

若p2,p3中至少有一个不为零，则P(BA)必定不小于p2或p3；

若p2,p3中至少有一个的值为1，则P(BA)=1.

所以，3个人，一种知识时，“三人行，必有我师”只有在第三种情形时才发

生，其他情形不是“必有”。

接下来，我们对这种情形加以推广：知识仍为一种，记为a,三人改为n个人,

编号为1、2， ，n(n不小于3).那么由上面的分析可知，编号为2、3， n的人

可以作为1的老师的概率为1 (1 pi)，观察这个式子，可以发现两种情况下

可使概率值为1. n趋于无限大，且0<pi<1； pi中至少有一个的值为1.其他情

形均不可使其值为1.

当然，也可以推广到另外一种情形：人数为三个，而知识则为m种，可以得

出当m无限大时，编号为2、3的人可为1的老师的概率为1.计算方法类似，在此

略去。

于是，得到如下结论：若满足如下假设之一 这里的人要足够多， 这里的知

识也尽可能的有多种,“必有我师”的概率将趋于极限意义上的1，或者依概率收

敛于1。正因为如此，我们常在生活中听到有人说“山外有山，人外有人”。也曾

i 2n

有一位科学家说，“我所知道的事有限的，我所不知道的是无限的”，说的正是这

个道理。

3.结语

中国古代谚语中蕴含概率思想的当然还有很多，还有待于进一步的发掘和探

索。由于本人的能力及学术水平有限，有些地方尚不能有全面的分析，若有不足

之处，还希望各位老师指正为谢。

4.参考文献

[1]温端政.《新华谚语词典》[M].北京：商务印书馆,2005.12

[2]张心远.《谚语》[M].北京：三秦出版社,2008.08

[3]韩旭里 ,谢永钦.《概率论与数理统计》[M].修订版 上海：复旦大学出版社,

2009.5

[4]赵振威.《怎样解概率题》[M].北京：北京师范大学出版社,1986

[5]王琼.《谚语中的概率论》[J].西藏：西藏大学学报（自然科学版），2009.10，

第24卷第2期

5.致谢

在论文的写作过程中，遇到了许多困难，但在指导老师颜宝平老师的指

导下和同学们的帮助下我最终得以克服这些难关，论文才得以按时完成.在这

里我特别对我的指导老师和同学们表示深深的感谢，也感谢为我的论文提供

文献的作者们。谢谢你们！