有趣的配对问题和一个组合数公式

在排列组合的应用题中,有一类非常有趣的问题,就是有关鞋子、袜子、手套、夫妻等的计数问题,这类问题的特点是成对计数,因此与其它排列组合问题有所不同,选取元素时,有时成对选取,有时又要按单个选取,请看下面的问题。

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20 0 6年第 9期

数学教学研究

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么 仰 c= i+ . i a+ s s(詈) s。 n 而 n (+

特征。不同的角度、同方向，以分析探讨，而从不加从选择适当的方法快速而准确地解题 .然除了以上当的方法外 .有许多其它的方法，得一提的是，还值各

詈的大为= )。最值 )最值√口詈，的小 (故多参数问题形式多样，法灵活多变，巧性较方技

种方法之间并不是彼此孤立的 .此，统地掌握多因系参数问题的解题方法，疑会对今后学习及培养分无析问题和解决问题等方面有很大的帮助 .

强 .就要求我们要以变应变，解题过程中，根这在要

据具体的题设条件，真观察题目中不等式的结构认

有趣的配对问题和一个组合数公式王宏梅(北省远安县第一高级中学湖 440 ) 42 0

在排列组合的应用题中，一类非常有趣的问有题，就是有关鞋子、子、套、妻等的计数问题 .袜手夫 这类问题的特点是成对计数，此与其它排列组合因问题有所不同，取元素时，时成对选取，时又选有有要按单个选取.看下面的问题：请 题目 1 0双不同的鞋子混在一个口袋中，要现从中抽取 4只， () 14只鞋子没有成双的有多少种取法？ () 2 4只鞋子恰好成双的有多少种取法？ () 3 4只鞋子恰好 2只成双， 2只不成双的有另多少种取法？

成双的取法为 c。cc+ : cc ) 1 0:: cc+:;= 4 . ( 4一

般地， 2个元素 a、2…、和 b、2…、设 n I口、 a Ib、

b恰好配成 n对，中口与 b( 1 2…, )为 其 ,, n成一

对 .面求从这 n不同元素中取出 m个元素，下对恰

好有 P对 (≤2≤m≤r的取法：从 r对中取出 P 0 p I )先 I 对，差的 m一 p个元素则从余下的 n—还 2 P对中再取出 m一 p对，在这 m一2 2并 p对中各取一个，从 n则 对不同元素中取出 m个元素，好有 P对的取法为恰

Ⅳ=c c一D 2户：: —2 - 2 .利用公式①可以快速解答此类配对问题 .

①

例 1从 6双不同花色的手套中任取 4只，中其恰好有 1同色的取法有双种.

分析…

将这 1鞋子的左只分别记为口、 0双。口、

、

口。右只分别记为 b、2…、 .其中口、, 1 ,。b、 b,。 b ,

解利用公式①得 N=: 2= 4 ( . c 20种) 例2从 1 0对夫妻中选 3人参加议论会，但任何一对夫妻不能同时当选，有则种选法.

2…,O配成一双，上述问题有下列两种解法：, l则

()法 1先从 1 1解 0双中任取 4双，从每双再

中任取 1则得到4只不成双的取法 c。2 只，: ' CC cc=

解利用公式①得 N= D 90种) c0 2= 6( . c若将上述 2 n个元素分成两类， A={。口，记口，…

2 c0 36. 4 4= 30解法 2按从左只中取 0 12 3 4只， 5类 、、、、分,

口}B= l。b,,,分步在 A、中抽取，, ,… b}再 b B

抽取， 4则只不成双的取法为 c:+:; c0 o。 c c+ 2 0 c。+ c3, 0

则从 n对不同元素中取出 m个元素，好有 P对的恰取法又可以用下列方法求得：

c+ c0 36.; = 30

() 1 2从 0双中任取 2双即满足 4只中恰好成

先从 n对中任取 P对的取法是 c,:还差的 m一2个元素分下列 m一 p类抽取： p 2

双：‘= 5 c0 4.( )法 1先从 1中任取 l双，从余下 3解 0双再的 9双中任取 2双，从这 2双中各取 1只， 4只并则

第一类：仅在 A中余下的 n— P个元素中取 m一 2 p个，取法有 c一D:。; - 2第二类： A中余下的 n—在 P个元素中取 m一 p 2一

中恰好有 2只成双的取法为 c。 14. l cC=40 c解法 2先从 1 0双中取 1,差的 2只，从双还按

1,时在 B中余下的与 A中不成对的 (个同 n—P )(一 2一 1)中取 m p 1个，取法有 C -p m …2

左只中取 0 12分三类抽取， 4只中恰好有 2只、、则

一