初等数论测试题参考答案2006

《初等数论》测试题参考答案

１.证明:(n! 1,(n 1)! 1) (n! 1, n) (1, n) 1.

2.证明:对于任意的正整数a,b以及正奇数k,有

ak bk (a b)(ak 1 ak 2b ak 3b2 bk 1) (a b)q,

其中q是整数.记s 1r 2r nr,

则2s 2 (2 n) [3 (n-1)] (n 2) 2 (n 2)Q,

其中Q是整数.若n 2|s,由上式知n 2|2,因为n 2 2,这是不可能的,

所以n 2 |s.

3.有6组,分别是:

A 21 A 21 A 42 A 21 A 21 A 42 B 2,B 2,B 2,B 6,B 6,B 6. C 33 C 66 C 33 C 33 C 66 C 33 rrrrrr

17xyz ,于是得不定方程15x 20y 12z 17,60435

该方程的通解为x -1-12u 5v,y 1 12u-3v,z 1-5u,4.设

取u v 0,得x -1,y 1,z 1,

17111所以 .60435

5.141414的末尾两位数是36．

n 1个6.考察1,11,111, ,11 1这n 1个数,

则这n 1个数中至少有两个数关于模n同余,

不妨取b 11 1,c 11 1(t k),

t个k个

b c(modn).

于是n|b-c,令a b-c,则n|a,且a 11 100 0. t-k个k个

7.略.

8.当a 2,m 4时, (4) 2,此时22 0(mod4),可见(a,m) 1是欧拉定理不可缺少的条件. 9. (m,n) 1, n (m) 1(modm),而m (m) 0(modm),

m (n) n (m) 1(modm).

又n (m) 0(modn),m (n) 1(modn),

m (n) n (m) 1(modn).

m (n) n (m) 1(modmn).