2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 函数与方程课时作

2019

1 第12讲 函数与方程

1．(2015年安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

A ．y ＝ln x

B ．y ＝x 2＋1

C ．y ＝sin x

D ．y ＝cos x

2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )

A ．(1,3)

B ．(1,2)

C ．(0,3)

D ．(0,2)

3．(2016年辽宁大连模拟)设方程log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0，log 14

x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( )

A ．0<x 1x 2<1

B ．x 1x 2＝1

C ．1<x 1x 2<2

D ．x 1x 2≥2

4．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，

则( )

A ．g (a )<0<f (b )

B ．f (b )<0<g (a )

C ．0<g (a )<f (b )

D ．f (b )<g (a )<0

5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )

－x ＋3的零点的集合为( )

A ．{1,3}

B ．{－3，－1,1,3}

C ．{2－7，1,3}

D ．{－2－7，1,3}

6．已知f (x )是奇函数，且在R 上是单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一

个零点，则实数λ的值是( )

A.14

B.18 C ．－78 D ．－38

7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x

，x >1，9x ()1－x 2，x ≤1， 若函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，

则k 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎦

⎥⎤43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，＋∞ C ．(－∞，0)

D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，2 8．(2017年广东深圳二模)若对任意的实数a ，函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1]

B ．(－∞，0)

C ．(0,1)

D ．(0，＋∞)

9．(2016年河南郑州模拟)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .

(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；

(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．

2019

2

10．已知f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是(0,5)，且f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行．

(1)求f (x )的解析式；

(2)是否存在t ∈N ，使得方程f (x )＋37x

＝0在区间(t ，t ＋1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

2019

3 第12讲 函数与方程

1．D 解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，故y ＝ln x 不具备奇偶性，故选项A 错

误；y ＝x 2＋1是偶函数，但y ＝x 2＋1＝0无解，即不存在零点，故选项B 错误；y ＝sin x

是奇函数，故选项C 错误；y ＝cos x 是偶函数，且y ＝cos x ＝0⇒x ＝π2

＋k π，k ∈Z .故选项D 正确．

2．C 解析：因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x

－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0.所以0＜a ＜3.

3．A 解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，y ＝log 4x ，y ＝log 14

x 的图象，如图D99，

图D99

则x 1>1>x 2>0，则log 4x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141x ，log 14

x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142x ，得log 4(x 1x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141x －⎝ ⎛⎭⎪⎫142x <0，所以0<x 1x 2<1.故选A.

4．A 解析：由f (0)·f (1)<0，f (a )＝0，得0<a <1；

由g (1)·g (2)<0，g (b )＝0，得1<b <2.显然f (b )>0，g (a )<0.故选A.

5．D 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1.

当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )．∴－f (x )＝x 2＋3x .∴f (x )＝－x 2－3x .令

g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0，得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7＞0(舍)．∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}．故选D.

6．C 解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，因为f (x )是奇函数，所以f (2x 2＋1)＝

－f (λ－x )＝f (x －λ)，又因为f (x )在R 上是单调函数，所以方程2x 2＋1＝x －λ只有一个

根，即方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78

. 7．D 解析：函数f (x )的图象如图D100，由题知该函数图象与直线y ＝k 只有一个公共点，

图D100 故k 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，2. 8．B 解析：令F (x )＝(x －1)ln x ，则F ′(x )＝ln x －1x

＋1＝0，可得x ＝1，F (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，即F (x )在x ＝1处取得极小值F (1)

2019

4 ＝0.令G (x )＝ax －a －b ，则G (x )恒过点(1，－b )．而函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点，所以F (x )与G (x )有2个不同的交点，所以－b >f (1)＝0，解得b <0，即实数b 的取值范围是(－∞，0)．故选B.

9．解：(1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)．

因为y ＝f (x )是奇函数，

所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x .

所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.

(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，

最小值为－1；

当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.

所以据此可作出函数y ＝f (x )的图象(如图D101)，根据图象，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．

图D101

10．解：(1)方法一，∵f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是(0,5)，

∴可设f (x )＝ax (x －5)，a ＞0.

∴f ′(x )＝2ax －5a .

∵函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行，∴f ′(1)＝－6. ∴2a －5a ＝－6.解得a ＝2.

∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x .

方法二，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，

∵不等式f (x )＜0的解集是(0,5)，

∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为0,5.

∴c ＝0,25a ＋5b ＝0.①

∵f ′(x )＝2ax ＋b .

又函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行，∴f ′(1)＝－6. ∴2a ＋b ＝－6.②

由①②，解得a ＝2，b ＝－10.

∴f (x )＝2x 2－10x .

(2)由(1)知，方程f (x )＋37x

＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0. 设h (x )＝2x 3－10x 2

＋37，

则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)．

当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )＜0，函数h (x )在⎝

⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )＞0，函数h (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫103，＋∞上单调递增． ∵h (3)＝1＞0，h ⎝ ⎛⎭

⎪⎫103＝－127＜0，h (4)＝5＞0， ∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭

⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根． ∴存在唯一的自然数t ＝3，使得方程f (x )＋37x ＝0在区间(t ，t ＋1)内有且只有两个不相等的实数根．

2019

5