随机信号分析基础第二章习题

随机信号分析基础答案,电子工业出版社,第3版,王永德、王军编

第二章 随机信号概论本章要点： 1、随机过程的概念 可理解为依赖于时间t的一族随机变量或 随机试验得到的一族时间t的函数。 2、随机过程的概率分布

p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,...,t n ) FX ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,...,t n ) x1 x2 ... xn2

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3、随机过程的数字特征

数学期望

m X (t ) E[ X (t )] x p X ( x; t )dx 2 X 2

(t ) E[ X (t )] x 2 p X ( x ; t )dx 均方值 2 X (t ) D[ X (t )] E[{X (t ) m(t )}2 ] 方差

自相关函数协方差函数

RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]

CX (t1 , t2 ) E[{X (t1 ) mX (t1 )}{X (t2 ) mX (t2 )}]

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随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数

RXY (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]互协方差函数

C XY (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) mX (t1 )}{Y (t 2 ) mY (t 2 )}]两随机过程X(t)和Y(t)之间的统计独立、不相关和 正交概念 随机过程的特征函数 4、随机序列及其统计特性

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重点及要求：会计算随机信号的概率分布及各种数字特征; 对两随机过程X(t)和Y(t)之间的统计独立、不相关 和正交概念有明确认识;

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2.2解: (1) 由于随机过程X(t)的样本具有确定的函 数形式( 为常数1,2,3),所以该随机过程 是确定性随机过程。 (2) 显然，任意时刻对应的随机变量是离散 随机变量，且具有相同的分布，所以概率密度 为：

p( x, t ) 0.6 ( x 1) 0.3 ( x 2) 0.1 ( x 3)

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2.6

解:由图可得下表 ξ1 ξ2 4 7 ξ3 6 2

X(2) 3 X(6) 5 所以：

1 13 E[ X (2)] (3 4 6) ; 3 31 14 E[ X (6)] (5 7 2) ; 3 3 1 55 E[ X (2) X (6)] (3 5 4 7 6 2) ; 3 3

出现一个典型的错误：

182 E[ X (2) X (6)] E[ X (2)]E[ X (6)] ; 9

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由定义可知：

FX ( x,2) P( X x,2);

显然在2这一时刻的可能取值为3,4,6; 可得：

0, x 3 1 3,3 x 4 P( X x, 2) 2 3 , 4 x 6 x 6 1,

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同理可得：

问题

FX ( x;2) P X (2) x 1 3 2 3

0, x 2 1 3, 2 x 5 FX ( x;6) P( X x,6) 2 3 , 5 x 7 1, x 7

1 3 ;x 3 3; 2 ;x 4 4; 3 6; 1 1; x 6 1 x FX ( x; 2) P X (2) x p( x)dx x 0 3

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FX ( x1 , x2 ;2,6) P{ X (2) x1, X (6) x2}; P{( X (2) x1 X (6) x2 };

用表格来表示所求的联合分布：

x1x2x2 2 2 x2 55 x2 7

x1 3

3 x1 4

4 x1 6

x1 6

0

0

0

0

0 00

0 1/31/3

0 1/32/3

1/3 2/31

x2 7

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问题x2

x1x2 2 2 x2 55 x2 7

x1 3

3 x1 4

4 x1 6

x1 6

0

0

0

0

0 00

1/9 2/91/3

2/9 4/92/3

1/3 2/31

x2 7

0, x 3 1 3,3 x 4 P( X x, 2)

2 3 , 4 x 6 1, x 6

0, x 2 1 3, 2 x 5 P( X x, 6) 2 3 , 5 x 7 1, x 7

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2.7 解：(1) 由题意可知

1 p( 1 ) p ( 2 ) p ( 3 ) ; 3所以 E[ X (t )] p( 1 ) X (t , 1 ) p( 2 ) X (t , 2 ) p ( 3 ) X (t , 3 ) 1 (1 sin t cos t ) 3

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(2)解：由定义可知：

RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )];由题知：

1X (t1 )1 1

2sin t1

3cos t1

X (t2 )所以： RX

sin t2

cos t2

(t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]; 1 (1 sin t1 sin t2 cos t1 cos t2 ); 3

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2.8 解：由定义出发：

E[Y (t )] E[ X (t ) f (t )];

E[ X (t )] E[ f (t )];

mX (t ) f (t )由协方差的定义：

CY (t1, t2 ) E{[Y (t1 ) mY (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]} E{[ X (t1 ) f (t1 ) mX (t1 ) f (t1 )]

[ X (t2 ) f (t2 ) mX (t2 ) f (t2 )]} CX (t1, t2 )

E{[ X (t1 ) mX (t1 )][ X (t2 ) mX (t2 )]}

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2.9 解：(1)直接由定义可得：E[ X (t )] E[ A cos( 0t ) B sin( 0t )] E[ A]cos( 0t ) E[B]sin( 0t ) 0

(2)由自相关函数的定义： RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]

E[ A2 cos 0t1 cos 0t2 B2 sin 0t1 sin 0t2 ] 2[cos 0t1 cos 0t1 sin 0t1 sin 0t2 ]

E{[ A cos 0t1 B sin 0t1 ][ A cos 0t2 B sin 0t2 ]}

cos 0 , 其中 t1 t22

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2.10

解：由均值的定义：E[ X (t )] 2 0

a a cos( 0t ) p ( )d 2

2

0

cos( ot )d

由定义先求出均方值，就可以得到方差：

E[ X (t )] E[a cos ( 0t )] 2 1 cos(2 0 t 2 ) E[a ] 2 2 2 a a 2 cos(2 0t 2 )d 22 2 0 a 22 2 2

0

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所以：2 2

a D[ X (t )] E[ X (t )] E[ X (t )] 2 RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]

2

E[a 2 cos( 0t1 )cos( 0t2 )] 2 a E[cos( 0 (t1 t2 )) cos( 0t1 0t2 2 )] 2 2 a cos[ 0 (t1 t2 )] 0 2 2 a cos 其中 t1 t2 2