郑君里,信号与系统第二版PPTchapter3-2

第三章傅里叶变换3.1 引言 3.2 周期信号的傅立叶级数分析 3.3 典型周期信号的傅里叶级数 3.4 傅里叶变换 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 3.7 傅里叶变换的基本性质 3.8 卷积定理 3.9 周期信号的傅里叶变换 作业 3.10抽样信号的傅里叶变换 3.11抽样定理 总结1

3.4 傅里叶变换E

f (t )

E

f (t )

T1

2 E n Sa( ) 对周期矩形脉冲信号，有 cn an T1 T1 2 1 T1 谱线间隔 T1

T1 2 2

2

T1 2

T1

t

T1

2

2

t

2 T1 1 0 谱线间隔 0 T1 周期信号的离散谱 非周期信号的连续谱

1 由于 T1 , Fn T1

T1 2 T 1 2

f (t )e jn 1t dt 02

从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的 规律就存在。 从数学角度来看：

f (t )

n

Fn e jn 1t

无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。 结论：信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无 限增大而消失的。

T 时，信号的频谱分布仍然存在。3

一、频谱密度函数f (t ) n

F (n 1 )e jn 1t

1 F (n 1 ) T1

T1 2 T 1 2

f (t )e jn 1t dt

两边同乘以T1,并取极限T1 , 1 0T1

lim T1 F (n 1 ) limF ( ) lim

2 F (n 1 )

1 0

定义：T1

1

lim

T1 2 T T1 1 2

f (t )e jn 1t dt

2 F (n 1 )

为频谱密度函数, 即： F ( ) f (t )e

1

lim

T1 2 T T1 1 2

f (t )e jn 1t dt j t

dt4

二、非周期信号的傅立叶变换

F ( ) f (t )e

j t

dt

正变换 反变换

1 j t f (t ) F ( )e d 2

周期信号的指数型傅里 叶级数f (t )

n

F en

jn t 1

表明，

周期信号可以分解为无 限多个频率为 1、 n 复振幅为Fn的指 数分量ejn t 1

的离散和；

1 非周期信号的傅里叶变 换 f (t ) 2

F ( j )e j t d 表明， F ( )d 2

非周期信号可以分解为 无穷多个频率为 ,复振幅为 的虚指数分量 e j t 的连续和(积分) 。

即非周期信号在所有频率上都具有分量。

周期、非周期信号两者所不同的是：

周期信号：频谱是离散的，且各频率分量的复振幅 Fn 为有限值； 非周期信号 频谱是连续的，且各频率分量的复振 幅F ( ) d 为无限小量。 2

所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概 念。7

频谱函数F(ω)的物理意义 2 1.F ( ) lim T1 Fn lim Fn T 0 11 1

可见, ( )是单位频带的复振幅, F 具有

密度的概念. 称为频谱密度函数, 简称频谱函数或频谱密 在 度, 与周期信号频谱不混淆 的情况下也称频谱. 2.周期信号频谱是离 散的, 非周期信号是连续的.信号在时域 连续, : 周期 信号在时域 连续, : 非周期 信号在时域 离散, : 非周期 信号在时域 离散, : 周期 频谱在频域 离散, : 非周期 频谱 在频域: 连续, 非周期 频谱在频域 连续, : 周期 频谱在频域 离散, : 周期8

1 j t 3. f (t ) d 表示非周期信号能分解 为 F ( )e 2 F ( ) j t 无限多个频率为 , 振幅为 d 的指数分量 e 的 2 连续和(积分).4.周期信号各频率分量的 复振幅Fn为有限值, 而非周 2 限值, 则为无穷小量, 频谱不能用复振幅直接 表示, 改用 F ( )描述非周期信号频谱特 即比较各频率分量 性, 的相对大小.9

期信号各频率分量的复 振幅为

F ( )

d , 若F ( )为有

几点说明： 正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。 时间函数f(t)可以表示为 ( ) 频率在区间内的指数函数的连续和。傅立叶变换提供了信号的频 率描述和时间描述之间相互变换的工具。 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分 量中；具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的 频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。 F(ω)包含了从零到无限高频的所有频率分量；各 频率分量的频率不成谐波 关系。10

F ( ) f (t )e

j t

dt

1 f (t ) F ( )e j t d 2

傅里叶变换的其它形式

F ( j ) f (t )e j t dt

F( f )

f (t )e

j 2 ft

dt

f (t ) F ( f )e

j 2 ft

df11

傅立叶变换一般为复数FT一般为复函数

F ( ) F ( ) e j ( )

1 j t f (t ) F ( )e d 2 1 F ( ) e j ( t ( )) d 2 与周期信号类似，非周期信号也可以改写为三角函数 形式。若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数。

1 f (t ) 2

F ( ) cos[ t ( )]d 12

三、傅立叶变换存在的充分条件

f (t ) dt

用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上 述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立 叶变换。

3.5 典型非周期信号的傅里叶变换 单边指数信号 双边指数信号 矩形脉冲信号 钟形脉冲信号 符号函数 升余弦脉冲信号

一、单边指数信号 e f (t ) 0

f (t )

t

t 0 t 0 j t

1

e t u (t )t( 0)

F ( ) f (t )eF ( ) 1

1 dt j

2 2F ( )1

( ) arctan( )

( ) 2

1 2a

3a

215

二、双边指数信号f(t)

f (t ) e

t

( t )0F ( )

2 F ( ) 2 2

t

( ) 00

16