湘教版八年级数学上 5.1 二次根式 能力培优训练(含答案)

5．1 二次根式

专题一 二次根式有意义的条件

1．在实数范围内，代数式2(4)13x -+--的值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．以上都不对

2．代数式21-+-+x x x 的最小值是 ( )

A ．0

B ．21+

C ．1

D ．不存在

3．如果23322y x x =-+-+，那么2x y +=___________________.

4．若a 、b 为实数，且22

4472

a a

b a -+-=++，求a +b 的平方根．

专题二 二次根式的性质的应用

5. 如果数轴上表示数a 的点在原点的左边，那么化简22a a +的结果是（ ）

A ．a -

B ．a 3-

C ．a

D ．a 3

6. 如图，若2a a =-，且1a a

<

，数a 对应数轴上Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ四个点中的一个，那么这个点是 .

7．计算：19992000200120021⨯⨯⨯+.

8．已知等式20112012a a a -+-=成立，求22011a -的值.

专题三 与二次根式有关的规律探究题

9．将1、2、3、6按如图方式排列.

若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4，2）与（21，2）的两数之积是（

） A ．1 B ．2 C . 23 D ． 6

10．观察下列各算式： ①2246816(28)1616420⨯⨯⨯+=⨯+=+=；

②24681016(410)1640444⨯⨯⨯+=⨯+=+=；

③268101216(612)1672476⨯⨯⨯+=⨯+=+=；

M N P Q

－

0 1

④2810121416(814)161124116⨯⨯⨯+=

⨯+=+=…

（1）根据以上规律计算： 200620082010201216⨯⨯⨯+（注意计算技巧哦！

）. （2）请你猜想：2(22)(24)(26)16n n n n ++++的结果（用含n 的式子表示）.

11.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，

如3+22=（1+2）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=（m+n 2）2（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2,∴a = m 2+2n 2,b =2mn .这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a+b 3=（m+n 3）2,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ， b = ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： +

3 =（ ＋ 3）2；

（3）若a +43=（m+n 3）2，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值.

状元笔记

【知识要点】

1.二次根式的概念：形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式.

2.二次根式的性质：

（1）(0)a a ≥是一个非负数；（2）2()(0).a a a =≥（3）2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨

-<⎩． 【温馨提示】

1．(0)a a ≥的双非负性在解题过程中要善加利用.解题过程中，不要只有其一，忘记其二．

2．数学中的三个非负数是常用的考点.绝对值、平方、二次根式三个非负数的和若等于0，则每个数都等于0. 3. 2(0)a a a =-<．

【方法技巧】

1．二次根式的定义中被开方数大于等于0是解题的关键.

2．题目中如果出现一个方程两个未知数，求未知数的值时，常常构造几个非负数的和等于 0的形式.

3．被开方数较大的二次根式的化简时，常利用换元法简化计算.

参考答案：

1. C 解析：由二次根式的定义可知：2(4)0x -+≥，又因为 2

(4)0x -+≤，所以2(4)0x -+=，所以2(4)130132x -+--=--=．

2. Ｂ 解析：由二次根式定义可知：01020x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩

，

解得2x ≥，当2x =时，21-+-+x x x 的值最小，最小值是2212221+-+-=+，故选B .

3. 5 解析：由题意得：230320

x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得32x =，所以2y =，所以25x y +=. 4．解：因为22

4472

a a

b a -+-=++， ⎪⎩

⎪⎨⎧≠+≥-≥-02040422a a a ，

7,2==∴b a ，

9=+∴b a ．

39±=±=+±∴b a ．

5. Ａ 解析：由题意知0a <，所以222a a a a a a +=-==-，故选A .

6．M 解析：由2a a =-得0a ≤，又1a a

<，所以1a <-，所以a 对应的数是点M . 7．解：设2000a =，则原式=(1)(1)(2)1a a a a -⨯⨯+⨯++

(1)(1)(2)1a a a a =-⋅⋅+++=[][](1)(2)(1)1a a a a =-+⨯++222()2()1a a a a =+-++

222(1)1a a a a =+-=+-．

又因为2

10a a +->，所以原式=2212000200014001999a a +-=+-=． 8．解：由题意得a －2012≥0.原等式变形为20112012a a a -+-=.

整理得20122011a -=.两边平方得220122011a -=.∴22011a -=2012. 9. D 解析：从图示中知道，（4，2）所表示的数是6.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210 个数，∴（21，2）表示的是第210+2=212个数.∵这些数字按照1、2、3、6的顺 序循环出现，212÷4=53，∴（21，2）表示的数是6.∴（4，2）与（21，2）表示的两数 之积是666⨯=.

10. 解：（1）原式=2(20062012)162006201244036076⨯+=⨯+=．

（2）原式=[]222(26)162(26)44124n n n n n n ⨯++=⨯++=++.

11.解：（1）m2+3n2 2mn （2）4 2 1 1（答案不唯一）

（3）根据题意得，

22

3,

42.

a m n

mn

⎧=+

⎨

=

⎩

∵2mn=4，且m、n为正整数，

∴m=2，n=1或m=1，n=2.∴a=13或7.