电网络理论考试习题

1

阅前提示：以后解答过程存在部分错误，请小心使用。

习题1

1. 一个非线性电阻元件的电压、电流分别为：u(t) = cos t，i(t) = cos4 t(u、i参考方向一致)。求该电阻元件的构成关系。

i(t) = cos4 t = 8cos4 t 8cos2 t+1 = 8u4(t) 8u2(t)+1

2．二端元件的电压、电流分别为u(t) = 2cost，i(t) = 0.5 cost，试确定元件类型(即属于电阻、电感、电容等中的哪一类)，并论证其无源性。

i(t) = 0.5 cost = 0.5 0.5u(t)

W(t0,t) u( )i( )d 2cos (0.5 cos )d T 0

T

T

电阻，有源。

3．有两个二端元件，其电压、电流关系方程分别为

du(t)di(t)

(1) i(t) (2) u(t) 2i2(t)

dtdt

试确定各元件类型，并论证各元件的无源性。

dqdu2

（1）因为i ，所以q = u2+A，A为常数，电容元件。

dtdtttdu2

W(t) u( )i( )d u 2ud u3(t)，当u<0时，W(t)<0，有源。

d 3

2d 2di3

（2）因为u ，所以 = i3+A，电感元件。

3dt3dt

ttdi1

W(t) u( )i( )d 2i2 id i4(t) 0，无源。

d 2

4．如题图1所示二端口电路，其中非线性电阻r的构成关系为ur = ir3。此二端口是有源的还是无源的。

t

t

题图1

p = u1i1+u2i2 = i = (i1R1+uR)i1+(i2R2+uR)i2 = i12R1+i22R2+iR4 0

W(t) u( )i( )d pd 0，无源。

5．图1.23中对四种线性受控源给出了其一种零泛器模型。证明各含零泛器电路与对应受控源间的等效性。

6． 图1.16给出了用运放和电阻元件实现的CNIC和VNIC的电路。试证明各含运放电路与对应的负阻抗变换器间的等效性。

2

习题2

1. 对题图1所示有向图：(1)若以节点④为参考节点，写出关联矩阵A；(2)若选树T(1，2，3，4，5)，写出基本割集矩阵Qf和基本回路矩阵Bf。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 A 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1

①

1

② ③ ⑤ ⑥

题图1

③

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Bf

1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 Qf 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

2. 已知图G对应于某一树的基本割集矩阵如下，(1)试写出对应于同一树的基本回路矩阵；(2)作出对应的有向图。

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 Qf 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 2 3 4 5 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

Bt QlT

0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0

基本回路矩阵：Bf = [Bt 1l]

网络图如右所示，图中红线表示的是树枝。

3. 若考虑网络中电感和电容的初始值不为0，试写出矩阵表示的网络VCR方程。图2.11(a)电路中，电感、电容的初值分别为iL5(0 )、uC6(0 )和uC7(0 )，求支路电压向量Ub(s)。

3

设初值向量iL(0 )，uC(0 )，变换为s域的电压源LTiL(0 )，uC(0 )/s，L为支路电感向量。 支路电压向量 Ub(s) = Zb(s)[Ib(s)+Is(s)] U's(s) 支路电流向量 Ib(s) = Yb(s)[Ub(s)+U's(s)] Is(s) 考虑初值时上式中 U's(s) = Us(s)+LTiL(0 ) uC(0 )/s

本题中LTiL(0 ) = [0 0 0 0 L5iL5(0 ) 0 0]T，uC(0 )/s = [0 0 0 0 0 uC6(0 )/s uC7(0 )/s]T

U1(s) 0 g 0 G4 0 0 sC7 U(s) g 0 0 0 1/sL sC 0

56 2

U3(s) g g G3 0 0 0 0

U4(s) 1 0 1 1 0 0 0 U5(s) 0 1 1 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1 0U(s) 6

U(s) 1 0 1 0 0 0 1 7

1

G4Us(s) C7uC7(0 )

1 C6uC6(0 ) iL5(0 )

s

0 0 0 0 0

4. 用导纳矩阵法求题图2所示网络的支路电压向量。

Is1题图2

(s)

作出网络图，以结点5为参考结点，取树(1、3、4、6、8)，列出矩阵。

1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 -1 0 0 A 0 -1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 -1 -1 0 0 0 0

Bf 0 0 -1 0 1 -1 0 -1

-1 0 0 1 0 -1 1 0 sC1 sC

2

0 sC3

1/sL4 Yb

1/sL5 1/R 6 0 1/R7 1/R 8

4

Is(s) Is1 0 0 0 0 0 0 -Is8 T

T

UC2(0 )UC3(0 )

Us(s) 0 0 0 0 0 0

ss

AY(s) A AY(s) AY(s)

Ub(s) b Is(s) b b Us(s)

Bf 0 Bf 0

1 1

5. 在题图3所示电路中，以I5和I2为直接求解的支路电流，列写改进结点方程。

1 3 4 6 7 2 5 1 0 0 110 1 A [A0 AE Ax] 0 0 1 0 1 1 0

1 1 0 001 0

题图3

Y0 = diag[G1 G2 G4 G6] Yx = diag[G2 G5]

G1 G6 0 G1

Yn0(s) 0 G 04

G 0 G G113

0 G2 G2

Yx(s)AT x G 0 0

5

Is(s) = [ Is1 0 0 0]T，Us(s) = [Us1 0 0 Us6]T

Is1 G1Us1 G6Us6

In0(s) 0

Is1 G1Us1

改进结点方程

G1 G6 0 G1 1 0 1 Un1 Is1 G1Us1 G6Us6

0 G 0 1 1 0 U

4 n2 0

G1 0 G1 G3 0 1 0 Un3 Is1 G1Us1

I 1 1 0 0 0 0 Us7 7

0 G2 G2 0 1 0 I2 0

G 0 0 0 0 1 I 0 5 5

6. 列写题图5所示网络以两条5 电阻支路为撕裂支路的撕裂结点方程。

5

10V

题图5

6V

习题3

1．利用不定导纳矩阵计算题图1所示二端口网络的短路导纳矩阵。

题图1

12'

2

图示电路原始不定导纳矩阵为

G1 sC1 G1 0 sC1 G G sC 0 sC

1122' Yi

0 0 G2 G2 sC1 sC2 G2 G2 sC1 sC2 消除不可及端子4得三端网络不定导纳矩阵

2 s2C1sC1sC2G2sC1

G sC G 1 11

YYY444444

22 sC1sC2sC2G2sC2 ' Yi G1 G1 sC2

Y44Y44Y44

2 G2sC1 G2sC2 G G2

2 Y44Y44Y44

2 s2C1sC1sC2

G sC G 111

YY4444 Yi

sCsCs2C22 G1 12 G1 sC2

Y44Y44

2．题图2所示网络，试求：

(1) 根据不定导纳矩阵的定义求三端网络的不定导纳矩阵；

(2) 用首先形成网络的原始不定导纳矩阵的方法，求三端网络的不定导纳矩阵。

题图2

2

2

6

(1) 将VCVS变换为VCCS，2、3端接地，1端接电源u1，计算得

g(g sC)

Y11 12

g1 g2 sC

Y21 Y31

g1(g2 Ag3 sC)

g1 g2 sC

Ag1g3

g1 g2 sC

1、3端接地，2端接电源u2，计算得 Y12 = Y11

Y22 Y11 Y32

Ag3

Y11 g3 g1

Ag3

Y11 g3 g1

矩阵第3列可由1、2列相加取负可得 Y13 = 0 Y23 = Y21＋Y22 Y33 = Y31＋Y32

Y11 Y12 Y13

Yi Y Y Y212223

Y31 Y32 Y33

(2) 将VCVS变换为VCCS：i23 = Ag3u43＝Ag3u34，原始不定导纳矩阵为 g1 0 0 g1 0 g g sC g Ag g Ag sC

233323' Yi

0 g3 g3 Ag3 Ag3 g g sC 0 g g sC212 1 消除不可及端子4可得三端网络不定导纳矩阵

2 g1g1(g2 sC) g 0 1

Y44Y44 g(g Ag3 sC) (g sC)(g2 Ag3 sC)Yi 12g2 g3 sC 2 g3 Ag3

Y44Y44

Agg Ag3(g2 sC)13 g3 g3 Ag3

YY 4444

3．题图3所示一个不含独立源的线性三端网络，其输出端3开路。分别以1端、2端作为输入端的转移函数为

U(s)

H1(s) 3

U1(s)

U(s)

H2(s) 3

U2(s)

2 3(s)

题图

3

U1(s) 0

U2(s) 0

U1

用不定导纳矩阵分析法证明H1(s)与H2(s)互为互补转移函数，即H1(s)+H2(s) = 1。

三端网络的Y参数方程

Y11 Y12 Y13 U1(s) I1(s) Y Y Y U(s) I(s)

2223 2 21 2

U3(s) I3(s) Y31 Y32 Y33

输出端3开路，则有I3 = 0；1端、2端作为输入端则有I1 = －I2。由此可得

7

H1(s)

U3(s)U1(s)

U2(s) 0

Y11 Y21

Y13 Y23

同理可得T2(s)。根据不定导纳矩阵的零和性质，所以

H1(s) H2(s)

Y31Y32Y33

1 Y33Y33Y33

4. 题图4为以结点c为公共终端的二端口网络，用不定导纳矩阵分析法求该二端口网络的短路导纳矩阵Ysc(s)。

题图4

以结点5为参考结点，写出原始不定导纳矩阵，由此得定导纳矩阵

G G 0 0 G G sC g sC 0

m Yd(s)

0 sC sC g 0 0 g 0

应用式(3 25)，去掉第2、3行列，得二端口网络的短路导纳矩阵

gG(gm sC)

gG m 1sC Ysc(s) 2

gm G g(G sC)

gG sC

5. 用不定导纳矩阵分析法求题图5所示滤波器的传递函数H(s) = Uo(s)/Ui(s)(设运放为理想的)。

1

U(s)R1R2C1C2

H(s) o

Ui(s) 111

s2 s RC RC RRCC

21 1212 11

题图5

习题4

1. 列出题图1所示网络的状态方程：(1) 以电容电压与电感电流为状态变量；(2) 以电容电荷与电感磁链为状态变量。

(1) 网络的状态方程：

C1u

11

( uC1 uC2 us) isR1C1C1

uC2

C2 u

11111111

( )uC1 uC2 ( )us isC2R1R2C2R2C2R1R2C2

题图1

R1 iL 3iL usLL

8

(2) 网络的状态方程：

1 q 2 q

111

q1 q2 us is

R1C1R1C2R1

111111

q1 ( )q2 ( )us is R1C1R1R2C2R1R2

R3

usL

2. 用系统公式法建立题图2所示网络的状态方程。 _ u s1

+ + C3

题图2

R4

复杂性阶数为3，取树T(1，2，3，4，5，6)，基本割集矩阵

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Qf

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

网络状态方程

(C3 C7) (C3 C7) duC2 0 0 0 dt C2C3 C2C7 C3C7 R(CC CC CC)8232737 uC2

us1 C7 C7 u 0 duC3 0 0 C3 dt CC CC CCR(CC CC CC)232737 is10 2737 i 823

L9 R4 diL9

0 0 dt L5 L6 L9 0 0

C3C7

0

CC CC CC232737 dus1 dt C2C7 0

diCC CC CC2737 23 s10

dt L5 0

L5 L6 L9

3. 用多端口法建立题图3所示网络的状态方程。

网络的状态方程

uL2

题图3

9

duC dt di L1 dt 21 11

33 uC 23 us

42 2ii

L1 0 s

99 9

4. 网络的状态方程和初始状态为

1(t) 3 1 x1(t) 1 x

x 2 0 x(t) 0 2 (t) 2 2

1(0) 2 x

x 5 (0) 2

试求该状态方程的解。

网络的预解矩阵和状态方程的解：

Φ(s) (sI A) 1

s 1

s2 3s 2s2 3s 2

2s 3 22 s 3s 2s 3s 2

1(t) 5e t 7e-2t x

x t-2t (t) 2 2 10e 7e

习题5

1. 试导出式(5 5)和式(5 6)。

~T~~T~~~T~TT~~T~T~~T~UTtIc UtYcUt UtQfYbQfUt (QfUt)Yb(QfUt) UbYbUb UbIb 0

~~~T~TT~T~T~~T~UlTIl (ZlIl)TIl IlTZlTIl IlTBfZTBI (BI)ZBI IZI IbflflbbbbUb 0 bfl

2. 根据伴随网络定义试确定题图1(a)、(b)给出的两个二端口元件在伴随网络中的对应元件及其参数。

回转器方程

(u1 = k1u2，i2 = k2i1

)

(b)

题图1

回转器伴随网络

12

21(a)

u1 0 r i1 u r 0 i

2 2

伴随网络方程

~

u1 0 r i1 ~ ~ r 0 ~ u 2 i2 CNIC方程

i1 0 1/k2 i2 u 1/k 0 u 2 1 1

伴随网络方程

~~ i1 0 1/k1 i2 ~ ~ 1/k 0u2 u1 2 这是VNIC。

CNIC伴随网络

10

3. 求题图2所示网络的对偶网络及其网络方程。

网络元件对偶关系：

L'1 = C1， L'4 = C4， C'3 = L3， R'2 = G2， R'5 = G5， R'6 = G6， i's = us， u's = is 初始值对偶关系：

i'L1(0 ) = uC1(0 )， i'L4(0 ) = uC4(0 )， u'C3(0 ) = iL3(0 ) 原电路结点电压方程

iL3(0 ) 11

sC G GCu(0) 1C1 22 1 sL3sL3s Un1 sC1Us(s)

11 Cu(0) iL3(0 ) 0 sC G sCU 454 n2 4C4 sL3sL3s Is Un3 C4uC4(0 ) G2 sC4 sC4 G2 G6

题图2

③

对偶图

u

C

电路的网络图及其对偶图：

④

对偶电路网孔电流方程

u'C3(0 ) 11

sL' R' R'L'i'(0) 1L1 22 1 sC'3sC'3s Im1 sL'1I's(s)

11 L'i'(0) u'C3(0 ) 0 sL' R' sL'I 454 m2 4L4 sC'3sC'3s U's Im3 L'4i'L4(0 ) R'2 sL'4 sL'4 R'2 R'6

习题6

1. 题图1所示二阶LC滤波电路中：R1 = R2 = 1 ，L = 0.7014H，C = 0.9403F，令H(j ) = Uo(j )/Ui(j )，试求H(j )对各元件参数的灵敏度。

题图1

11

H(j )

Uo(j )

Ui(j )

(j ) SDL

1

1

R1L

2LC j ( CR1)R2R2

1

D(j )

(j )SHL

L D(j ) 2LC j L/R2

D(j ) LD(j )C D(j ) 2LC j CR1 D(j ) CD(j )

H(j )

SCD(j ) SC

(j )D(j )SH S RR

1

1

R1 D(j )R(1/R2 j C)

1

D(j ) R1D(j )

(j )(j )

SH SDRR

2

2

R2 D(j )(R1 j L)/R2

D(j ) R2D(j )

2. 用增量网络法求题图2所示网络中的电压U4对 和对G2的非归一化灵敏度。图中，G1 = 3S，G2 = 2S，G3 = 6S，G4 = 7S， = 2。

1 0 1 0 0

A 0 1 1 0 1

0 0 0 1 1

4

G1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 2 0 0 0

2

Yb 0 0 G3 0 0 0 0 6 0 0

0 0 0 G4 0 0 0 0 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0

题图2

Is = [1 0 0 0 0]T，Us = 0

Un

1YnA(Is

0.238

YbUs) 0.191

0.0136

0.238G1

0.191G 0 0.143 Un1 0.238 0.143 0.09522 Y 1A Y(U ATU) 0.191 0.0476G U 0.214 0.0238 0 0.214n2 nbsn3 x x x

0.0204 0.0340 0.143 0.122 0.0136 Un3 0.0136G4

0.0476

图中Un3 = U4，对U4的偏导数为

U4

(3.24G1 3.9G2 1.62G3 1.94G4 5.81 ) 10 3 x x

U4 U U U U

3.24 10 3， 4 3.9 10 3， 4 1.62 10 3， 4 1.94 10 3， 4 5.81 10 3 G1 G2 G3 G4

3. 题图3所示网络中各元件参数为：R2 = 2 ，R3 = 8 ，rm = 4 ，Is = 0.5A。用伴随网络法求U2对R2、R3、rm的非归一化灵敏度

题图3

R3

U2 U2 U2

。 R2 R3 rm

3 R3

3 R3

12

0 0 0 0 0 R 0 0

2 Zb

0 0 R3 0 rm 0 0 0

Ib = [1 6/5 1/5 1/5]T b = [1 8/5 1/5 1/5]T

0 0 0 0 1

481 811 0 R2 0 0 6/5 1T

Zi Ib ZbIb 1 rm R2 R3

0 0 R 0 1/552525 555 3 rm 0 0 0 1/5

Is = 0.5A

U2 ZiIs Zi24

Is R2 R2 R225

U2 Zi1

Is R3 R350 U2 Zi1

Is rm rm10

习题7

1. 题图1为积分器电路，采用无源补偿方法可使电路的相位误差为零，试求Cc与电阻R、电容C以及运放时间常数 的关系式。

网络函数

题图1

1

U1 sRCcH(s)~sRC H(s) 0 H(s)

1 s 1 s Uis (1 sRCc) sRC(1 s )

RC1 sRCcRC1 sRCc

当 = CcR = CR时，相位误差为0，但幅值误差不为0。

2. 设计萨林 基低通滤波器，要求fp = 2kHz，Q = 10，取R1 = R2，C1 = C2。设运放的A0f0值为500kHz，运放的时间常数对 p和Q的影响有多大？

根据设计方法二：

p = 1/RC = 2 fp，取C = 10nF，得R = 8k 。K = 3 1/Q = 2.9，取Rb = 10k ，得Ra = 19k 。

~~ 0.8157 ,Q 1.155Q pp

3. 试求题图2电路传递函数H(s) = Uo(s)/Ui(s)。

13

Uo(s)

Ui(s)

题图

2

1

R1R3C1C2(1 1/K)

1 1 R2/R1 1 K11 1

s2 s

C1 R1R2R3 R1R3C2(1 1/K) R1R2R3C1C2(1 1/K)R

式中 K 1 a

Rb

4. 试导出图7.22的低通、带通和高通传递函数。

习题8

1. 将下列LC策动点函数实现为福斯特I型和II型、考尔I型和II型电路。

(1) Z(s) 题(2)的实现： 福斯特I型

福斯特II型

考尔I型

2 C2

2

(s2 1)(s2 4)s(s2 2)

(2) Z(s)

(s2 1)(s2 9)s(s2 4)(s2 16)

考尔II型

14

2. 题图1所示低通原型滤波电路，现要求实际截止频率 0 = 2.4MHz，实际电阻为R1 = 150 ，R2 = 75 ，试求电感、电容的实际值。

题图1

2

kz = 75，k = 2.4×106，元件实际值

k75 1.5L' zL 46.9 H

k 2.4 106

C0.65C' 3.61nF

kzk 75 2.4 106

3. 设计实现满足下列技术指标的巴特沃斯低通滤波器： 通带起伏： 1dB 0 f 10kHz 阻带衰减： 20dB 20kHz f<

信号源内阻Rs和负载电阻RL相等，Rs = RL = 1k 。

先求阶数n和截止频率 c：

logn

2log

1020/10 1

1/10 4.29 取n = 5 2 2 1042 104

|H(j s)|

1

2 2 104 c

2 5

10 20/20

c

2 2 104

20/10 1

2 1.26 104rad/s

查巴特沃斯低通原型滤波器归一化元件值表得归一化电路

归一化系数kz = Rs，k = c，元件去归一化：

Rs103 1.618L2 L2 21.5mH

c2 1.26 104

10.618'

C1 C1 7.81nF

cRs2 1.26 104 103

'

Es

1

类似可求其他元件值。

习题9

1. 采用频变负电阻实现4阶巴特沃斯低通滤波器，并求出各元件值。设Rs = RL = 1k ，要求截止频

15

率为5kHz，最小电阻值为1k 。

4阶巴特沃斯低通原型滤波器：

归一化系数kz = 1000，k = 5000×2 。由于最小原型电阻Rmin＝0.7654，直接去归一化后阻值小于1k ，所以归一化前所有原型元件值乘以K＝1/0.7654。归一化计算式为：

CC' R' KkzR

Kkzk

例如

'Cs

1

频变负电阻构成的4阶巴特沃斯低通原型滤波器

1

u

Cs0.7654

24nF

Kkzk 2 5 103 103

1'

R1 KkzR1 0.7654 103 1k

0.7654

2.题图1为基于电流传输器的RC电路，试说明当R2＝R5时，该电路为一个频变负电阻。

Zi

Ui(s)

Ii(s)

1

R

sC1(1 2 sR3C4)

R5

当R2＝R5时，则有

Zi

1s2R3C1C4

16

3. 求解题图2所示电路的传递函数，并说明其为何种类型的滤波器。

(b)

R

(a)

ui

题图1

Uo(s)题图2

2s2

(a) H(s) 二阶高通函数

Ui(s)s2 1s 1

RQCR2C2

Uo(s) Ui(s)

R2C

(sRC) s 1

RQ

2

(b) H(s)

R2C2

(sRC) s 1

RQ

二阶全通函数

4. 用萨林 基低通滤波器实现以下传递函数，并正确实现增益常数。

H(s)

Uo(s)20000

2

Ui(s)(s 2s 100)(s2 5s 200)