《高数》2012年高等数学模拟复习资料及答案.doc

2012年成人专升本高数全真模拟试题及答案

一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

6．设y x2 2x a，则：点x 1

A：为y的极大值点 B：为y的极小值点

符合题目要求的，把所选项前的字母填写在题后的括号中）

1．当x 0时，2x2 3x是x的

A：高阶无穷小 B：等价无穷小 C：同阶无穷小非等价无穷小 D：低阶无穷小 [注释]

本题考察的知识点是无穷小阶的比较

2． 设函数f(x)在区间[0,1]上连续且可导，f (x) 0，则： A：f(1) f(0) B：f(1) f(0)

C：f(1) f(0) D：f(1)与f(0)的值不能比较 [注释]

本题考察的知识点是利用导数符号判断函数的单调性 3．设

f (xlim

f(x0 2h) f(x0)

0) 1，则：h 0h

等于

A：3 B：2 C：1 D：12

[注释]

本题考察的知识点是导数的定义

4．若 f(x)dx F(x) C，则： sinxf(cosx)dx等于 A：F(sinx) C B： F(sinx) C C：F(cosx) C D： F(cosx) C [注释]

本题考察的知识点是不定积分的第一类换元积分法 5．设函数y e x，则：y 等于

A： ex B：ex C： e x D：e x [注释]

本题考察的知识点是复合函数导数的运算

C：不为y的极值点 D：是否为y的极大值点与a有关 [注释]

本题考察的知识点是一员函数 的极值 7．设函数z sin(xy2)，则： z x

等于

A：cos(xy2) B：xy2cos(xy2) C：2xycos(xy2) D：y2cos(xy2) [注释]

本题考察的知识点是偏导数的运算

8．二次积分 11 x

0dx 0f(x,y)dy等于 A： 1

1 y

0dy 0f(x,y)dx B： 10dy 1 x

f(x,y)dx

C： 1 y1

1

dy 0

f(x,y)dx

D： 1

0dy 0f(x,y)dx

[注释]

本题考察的知识点是交换二次积分的积分顺序 9．若

n

un收敛，Sn ui，则：下列命题中正确的是

n 1

i 1

A：limn

Sn 0 B：limn

Sn存在 C：limn

Sn可能不存在

D：{Sn}为单调增数列

[注释]

本题考察的知识点是级数收敛性的定义

10．设y1、y2为二阶线性常系数微分方程y p1y p2y 0的两个特解，则：C1y1 C2y2

A：为所给方程的解，但非通解 B：为所给方程的解，但不一定是通解

C：为所给方程的通解 D：不为所给方程的解 [注释]

本题考察的知识点是线性常微分方程解的结构

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二、填空题（每小题4分，共40分）

11．设y sin2x，则：dy

[注释]

本题考察的知识点是微分的定义 12．设y 2x sin2，则：y

三、解答题

21．（本题满分8分）

1求极限：lim

x 0

x

1 sinx

[注释]

本题考察的知识点是初等爱护念书的求导运算 13．函数y x3 2x 1在区间[1,2]上的最小值为

[注释]

本题考察的知识点是用罗必达法则求极限 解答：

1 sinx xcosx 1 sinx 1

lim lim lim lim 0 x 0xx 0xsinxx 0sinx xcosxx 02cosx xsinxsinx

[注释]

本题考察的知识点是连续函数在闭区间上的最小值问题

1

14． 0e2xdx [注释]

本题考察的知识点是定积分运算 15．设z sin(y x2)，则： z

x

22．（本题满分8分）

设y y(x)由方程x2 2y3 2xy 3y x 1确定，求：y [注释]

本题考察的知识点是隐函数求导法 解答：

方程两端同时对x求导，有： 2x 6y2y 2y 2xy 3y 1 0 所以：y

1 2x 2y

2

6y 2x 3

[注释]

本题考察的知识点是二元函数的偏导数计算 16．微分方程y y y 0的通解为

[注释]

本题考察的知识点是二阶线性齐次微分方程的求解

17．过点(1, 2,0)且与直线x 1 y z 3垂直的平面方程是

3

1

1

23．（本题满分8分）

1

2

设x为f(x)的原函数，求： 0xf (x)dx

[注释]

本题考察的知识点是定积分的计算 解答：

因为：f(x) (x2) 2xf (x) 2

11

所以： 0xf (x)dx 0x 2dx x2|10 1 24．（本题满分8分）

求： xdxdy，其中区域D是由曲线y 1 x2与y 0、x 0、x 1所围成

D

[注释]

本题考察的知识点是平面与直线的关系

18．设曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，则：该切线方程为

[注释]

本题考察的知识点是导数的几何意义与切线方程的求法

19．广义积分 1x 1dx [注释]

本题考察的知识点是广义积分

20．设区域D由y轴、y x、y 1所围成，则： dxdy

D

[注释]

本题考察的知识点是计算二重积分，选择积分顺序 解答：

区域D可以表示为：0 x 1、0 y 1 x2 所以： xdxdy 0dx 0

D

1

1 x2

11121413 x23

xdy xy|1dx (x x)dx (x x)|0 0 00244

[注释]

本题考察的知识点是计算二重积分

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25．（本题满分8分）

求微分方程x2y xy 1的通解 [注释]

本题考察的知识点是求解一阶线性非齐次微分方程的求解公式 解答：

因为：x2y xy 1，即：y 1y 12

x

x

所以：y e

1 dxx

[

1 e2x

xdx

1

dx C]

111

[ dx C] (lnx C) xxx

所以：点M0的坐标为(1,1)

相应的切线方程为：x 2y 1 0 28．（本题满分10分）

将f(x) ln(1 x2)展开为x的幂级数 [注释]

本题考察的知识点是将函数展开成幂级数 解答：

xn

因为：ln(1 x) ( 1) 1 x 1

nn 1

2n

2n 1x所以：ln(1 x) ( 1) 1 x 1

nn 1

n 1

26．（本题满分10分）

求由曲线y 3 x2与y 2x、y轴所围成的平面图形及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积 [注释]

本题考察的知识点是利用定积分求平面图形的面积与用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积 解答：

⑴求两曲线的交点坐标

y 3 x2

y 2x

x 1

y 2

(1,2)

⑵求平面图形的面积

115S [(3 x2) 2x]dx (3x x3 x2)|1 0

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二填空题： 参考答案：

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⑶求旋转体的体积

V [(3 x) (2x)]dx (9 6x2 x4 4x2)dx (9x

1

22

2

1

10315188x x)|0 3515

27．（本题满分10分）

在曲线y x求上一点M0，使该曲线过点M0的切线平行于已知直线x 2y 5，并求出相应的切线方程 [注释]

本题考察的知识点是曲线的切线方程与两条直线平行的判定 解答：

设点M0的坐标为(a,a)，则：y |x a 1 1

2

a

已知直线x 2y 5的斜率为1

2

所以：1

2

1a

12

a 1