工程力学 第十一章-能量法

工程力学 第十一章-能量法

能量法

Energy Method

§11–1 引言Introduction

§11–2 应变能,余能(补偿能)Strain Energy Complementary Energy

§11–3 卡氏定理Castigliano’s Theorem

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第11章 能§11.1 概 述

量

法

1.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形 固体的位移、变形和内力等的方法。 2.能量法的应用范围十分广泛： (1)线弹性体；非线性弹性体 (2)静定问题；超静定问题

(3)是有限单元法的重要基础

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§11–1一、能量原理：

变形能的普遍表达式

弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作 的功，即

U W

利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法。 二、杆件变形能的计算： 1.轴向拉压杆的变形能计算：

U

L

n N i Li N 2 ( x) dx 或 U i 1 2 Ei A i 2 EA

2

1 比能 : u 2

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2.扭转杆的变形能计算：

U

L

2 Mn ( x) dx 2GI P

2 M ni Li 或 U i 1 2Gi I Pi n

1 比能 : u 23.弯曲杆的变形能计算：

U

M 2 ( x) 2 EI

L

dx

M i2 Li 或 U i 1 2 Ei I in

1 比能 : u 2

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三、变形能的普遍表达式：变形能与加载次序无关；相互独立的力(矢)引起的变形能

可以相互叠加。2 N 2 ( x) Mn ( x) M 2 ( x) U dx dx dx L 2 EA L 2GI L 2 EI P

L

Q 2 ( x) S dx 2 EA

S 剪切挠度因子

细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。2 N 2 ( x) Mn ( x) M 2 ( x) U dx dx dx L 2 EA L 2GI L 2 EI P

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例1 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 P A B 解：外力功等于应变能W 1 Pf C 2 C a a M 2 ( x) U dx L 2 EI f P M ( x ) x ; (0 x a ) 2 a 1 P 2 P 2a 3 在应用对称性，得： U 2 ( x ) dx 0 2 EI 2 12 EI Pa 3 W U f C 6 EI 思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ q

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例2 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图 所示。试求梁内的应变能 。q A x

wl

B x

3 4 q l4 x x x w 2 3 4 24 EI l l l l 1 W q d x w 荷载所作外力功为： 0 2 2 5 q l 将前一式代入后一式得： V W 240 EI

解：梁的挠曲线方程为：

y

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2. 余能 设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F- 曲线如图b 。 FF1 (a)

(b) dF

FO

1

―余功Wc‖定义为：

WC d F0

F1

与余功相应的能称为余能Vc,余功Wc与余能Vc 在数值上相等。

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即：

Vc WC d F0

F1

(代表F- 曲线与纵坐标轴间的面积)F

F1 (b) dF

O

1

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注意：F

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对线弹性材料，余能和应变能

F1

在数值上相等，但其概念和计算

(b) dF

方法截然不

同。 1

对非线性材料，余能V c与应 变能V 在数值上不一定相等。

余功、余能、余能密度都没有具体的物 理概念，仅是具有功和能的量纲而已。

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§11–3 卡氏定理

1.卡氏第一定理 — 导出“力”的定 理 设图中材料为非线性弹性， 由于应变能只与 最后荷载有关， 而与加载顺序无 关。不妨按比例 方式加载，从而 n 1 有1 2 1 2

3

Fi

n

B

i3

d i

n

V W f i d ii 1 0

假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i , 则应变能的变化为：

V d V d i i

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因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其 余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微 小增量d i ,仅Fi作了外力功，外力功的变化为：

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V d i 注意到上式与下式在数值上相等 d V i V 从而有： F i (—卡氏第一定理 ) i注意： 卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线 性弹性体。 式中Fi及 i分别为广义力、广义位移。

d W F i d i

必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。

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例4 由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁 架，在结点 B处承受集中力 F,如图 a 所示。两杆的 材料相同，其弹性模量为E,且均处于线弹性范围内。 试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。lA 45O

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FB A B

1B'

C

(a)

C

(b)

解： 设结点B的水平和铅垂位移分别为 1和 2, 先假设结点B只发生水平位移 1 (图b)

则：

AB 1

BC

2 1 cos 45 1 20

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同理，结点B只发生铅垂位移 2(图c)A B

2B''

则：

AB 0

C

(c)

BC

2 2 sin 45 2 20

当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有(叠加)

AB 1

BC

2 1 2 2

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桁架的应变能为

EA i2 EA 2 EA 1 2 1 2 1 1 2 1 V 1 2 li 2l 2 2 2l 2应用卡氏第一定理得

V V 0 及 F 1 2解得：

1 Fl EA

及

Fl ( 1 2 2) 2 EA

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2.卡氏第二定理 — 导出“位移”的定理设有非线性弹性的梁， 梁内的余能为：1 2 3 n

B1 2 3 n

Vc Wc 0F1 i d f ii 1

n

假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi ,而其余荷载均 保持不变，因此，由于Fi改变了dFi ,外力总余功的 相应改变量为： d Wc i d Fi 余能的相应改变量为：

V c d Vc d Fi Fi