一对一数学辅导教案 分式、数的开方

初中数学教案

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2、分式的基本性质

A A M A A M , (M 为不等于零的整式) B B M B B M3.分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似). ; a c ad bc (异分母相加，先通分); b d bd b d bd a c a d b d b c a c ac

ad ; bc

a n an ( ) n. b b

4.零指数

a 0 1(a 0)a p 1 (a 0, p为正整数 ). apa m a n a m n , a m a n a m n (a 0), (a m ) n a mn , (ab) n a n b n

5.负整数指数

注意正整数幂的运算性质

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的 m、 n 可以是 O 或负整数. 熟练掌握分式的概念：性质及运算 例 4 (1)若分式

x2 3 的值是零，则 x=______. x 3

【点评】分式值为 0 的条件是：有意义且分子为 0.

x 5 x 2 3x (2)同时使分式 2 有意义，又使分式 无意义的 x 的取值 x 6x 8 ( x 1)2 9范围是( ) A.x≠-4 且 x≠-2 C.x=-4 (3)如果把分式 A.扩大 10 倍 B.x=-4 或 x=2 D.x=2

x 2y 中的 x 和 y 都扩大 10 倍，那么分式的值( ) xB.缩小 10 倍 C.不变 D.扩大 2 倍 .

x x 4x 例 5:化简( )÷ 的结果是 2 x x 2 x 2

分析：考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。答案：-

1 x 2

例 6.已知 a=

1 2 3

,求

1 2a a 2 a

2 2a 1 的值. a 1 a2 a

分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式进行化简。 答案：a=2- 3 <1,原式=a-1+=3. 例 7.已知|a-4|+ b - 9 =0,计算

a 2 ab a 2 ab 2 的值 b2 a b2

答案：由条件，得 a-4=0 且 b-9=0 ∴a=4 b=9 2 2 原式=a /b

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当 a=4,6=9 时，原式=16/81 例 8.计算(x—y+2 2 2 2

4 xy 4 xy )(x+y)的正确结果是( ) x y x y2 2 2 2

A y -x B.x -y c.x -4y D.4x -y 分析：考查分式的通分及四则运算。答案：B 因式分解与分式化简综合应用 例 1(2006 年常德市)先化简代数式：

2x 1 x 1 ,然后选取一个使原 2 2 x 1 x 1 x 1x 2 4x 1 2 ) 2 , x 2 x 4 x 4

式有意义的 x 的值代入求值. 【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义.

例 2、(05 河南)有一道题“先化简，再求值： (

其中 x 3 。”小玲做题时把“ x 3 ”错抄成了“ x 3 ”,但她的 计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？ 点评：化简可发现结果是 x 2 4 ,因此无论 x 3 还是 x 3 其计算结 果都是 7。 可见现在的考试特别重视应用和理解。数的开方与二次根式 【回顾与思考】

〖知识点〗 平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根 和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根(包括利用计算器及查表) ; 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和 同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取 值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则， 能进行二次根式的加减乘除四则运算， 会进行简单 的分母有理化。 内容分析 1.二次根式的有关概念 (1)二次根式

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式子 a (a 0) 叫做二次根式.注意被开方数只能是正数或 O. (2)最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式， 不含能开得尽方的因数或因式的二次根 式，叫做最简二次根式. (3)同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.( a ) 2 a (a 0);

2.二次根式的性质

a(a 0), a 2 | a | a (a 0); ab a b (a 0; b 0); a b a b (a 0; b 0).

3.二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减， 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别 合并. (2)三次根式的乘法 二次根式相乘，等于各个

因式的被开方数的积的算术平方根，即

a b ab(a 0, b 0).二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行. 两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三 次根式互为有理化因式. (3)二次根式的除法 二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因 式，把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去，叫做分母有理化. 〖考查重点与常见题型〗 1.考查平方根、 算术平方根、 立方根的概念。 有关试题在试题中出现的频率很高， 习题类型多为选择题或填空题。 2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。 3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在 选择题和中档解答题中出现的较多。 【例题经典】 理解二次根式的概念和性质 例 1 (1) (2006 年南通市)式子

x 有意义的 x 取值范围是________. 2 x3

【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负. (2)已知 a 为实数，化简 a a

1 . a

【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0. 掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法 例 2(2006 年海淀区)下列根式中能与 3 合并的二次根式为( )

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A. 24

B. 12

C.

3 2

D. 18

【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题. 掌握二次根式化简求值的方法要领 例 3 (2006 年长沙市)先化简，再求值: 若 a=4+ 3 ,b=4- 3 ,求

a a ab

b . a b

【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入.

习题精练 分式一、选择题 1.化简分式

b 的结果为( ab b 2 1 1 1 A. B. a b a b

) C.

1 a b2

D.

1 ab b

2.要使

m2 9 的值为 0,则 m 的值为( ) m 2 6m 9B.m=-3 C.m=± 3 D.不存在 ) D.1 ) D.1 3y

A.m=3 3.若解方程 A. 0

x 3m 出现增根，则 m 的值为( x 3 x 3B.-12

C.3 x y 4.如果 x2 4xy 4 y 0 ,那么 的值等于( x y A. 13

B. 1

C. 1

3y

3

二、填空题. 5.当 x =2 时，分式 x 4 的值为 0. 2 x x 6

6.若一个分式含有字母 m ,且当 m 5 时，它的值为 12,则这个分式 可以是 . (写出一个 即可) .. 7.已知

x y z 4 x 3 y 5z ,求分式 = 2 3 4 2x 3 y x a 1 的 解 为 x =0 , 则 a 的 值 2x 5 5 2x.

8.若分式方程 为

9 . 已 知 分 式 方 程 是

1 3k k 无 解 ， 则 k x 1.

的 值

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三、解答题 10.化简： (1) (

1 1 )( x 2 1) x 1 x 1

(2)

4 1 x 4 x 22

11.先

化简，再求值：

x2 4 2 ,其中 x 2 2 . 2 x 4 x 2

12.当 a= 2 时，求

4 2 1 2 的值. a 1 a a a 12

a2 4 1 2 13.先化简，再求值： 2 ,其中 a 是方程 2 a 4a 4 2 a a 2ax 2 3x 1 0 的根.

三、解分式方程. (1)

1 2 0 x 2 x 1

(2)

4 x 3 2x 5 x 1 x 1

(3)

5 x 4 4 x 10 1 x 2 3x 6

(4)

1 1 4 x (1 0.25x)

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(5)

6x 1 4x 7 3x 2 2 x 5

(6)

x 1 x 4 2 x 1 x 1 x 1

四、当 m 为何值时，分式方程

m 1 x 4 无解？ x 2 2 x

二次根式一、选择题： 1. 估算 27 2 的值( A.在 1 到 2 之间 C.在 3 到 4 之间 2. ) B.在 2 到 3 之间 D.在 4 到 5 之间 ) B. 2 ) B. (π 3.14) 10

2 的倒数是(A. 2

C.

2 2

D.

2 2

3. 下列运算正确的是( A. 27 3 C. 1 2 2 1

3

D. 9 3 )

4. 若 x

a b , y a b ,则 xy 的值为 (C. a b ) D. a b

A. 2 a B. 2 b 5.下列计算正确的是( A. 2 22 D. 2 x x x

B. 5 2 3

3 2 5 C. a a a

6.如图，在数轴上表示实数 15 的点可能是( A.点 P B.点 Q C.点 M D.点 N 7.下列根式中属最简二次根式的是( A. a 12

) 0 Q M N P 1 2 3 4

) C. 8 ) D.3 D. 27

B.

1 2

8. 若 x 1 1 x =(x+y)2,则 x-y 的值为( A.-1 B.1 C.2

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9. 一个正方体的水晶砖，体积为 100cm3,它的棱长大约在( A. 4cm~5cm 之间 B. 5cm~6cm 之间 C. 6cm~7cm 之间 D. 7cm~8cm 之间2 10. 若 (a 3) 3 a ,则 a 与 3 的大小关系是(

)

) D. a 3

A. a 3 B. a 3 11.下列说法中正确的是( ) A. 4 是一个无理数 B.8 的立方根是± 2 C.函数 y=

C. a 3

1 的自变量 x 的取值范围是 x>1 x 1

D.若点 P(2,a)和点 Q(b,-3)关于 x 轴对称，则 a+b 的值为-5 二、填空题： 1.化简

4

2

=_________. . .

2.计算 12 3 的结果是 3. 若 | a 1| 8 b 0 ,则 a b 4.计算： 18 8 = 5.函数 y .

x+3 中，自变量 x 的取值范围是________. x+5a b , a b

6. 对于任意不相等的两个数 a,b,定义一种运算※ 如下：a※ b=

3 2 4= . 5 .那么 12※ 3 2 7.已知等边三角形 ABC 的边长为 3 3 ,则 ΔABC 的周长是________如 3※ 2= 8.计算：tan60° -2 三、解答题 ： 1.计算： (1)-2

+ 20080+

2 3 =_________ 3

1 1 27 (3.14 ) 0 3 tan 30 ( ) 3

1 (2) ( 1) 5 27 2 3 2 0

1

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1 2 (3) 2sin 60 ( 2 3) 2

1

2 1 2

0

1 0 (4) ( ) 2 3

tan 45 ( 2 1.41)

1 3

2.先化简，再求值：

a 3 5 ( a 2),其中 a 3 3 2a 4 a 2

思

反 思

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教研主任审批