2012中考数学一轮复习【代数篇】4因式分解

中考复习之因式分解

知识考点：
因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。
精典例题：
【例1】分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。
②当某项完全提出后，该项应为“1”
③注意 ，
④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。
答案：（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
【例2】分解因式：
（1）
（2）
（3）
分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。
答案：（1） ；（2） ；（3）
【例3】分解因式：
（1） ；
（2）
（3）
分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。
答案：（1） （三、一分组后再用平方差）
（2） （三、二分组后再提取公因式）
（3） （三、二、一分组后再用十字相乘法）
【例4】在实数范围内分解因式：
（1） ；
（2）
答案：（1）
（2）
【例5】已知 、 、 是△ABC的三边，且满足 ，求证：△ABC为等边三角形。
分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证 ，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式 ，即可得证，将
原式两边同乘以2即可。
略证：


∴
即△ABC为等边三角形。
探索与创新：
【问题一】
（1）计算：
分析：此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。
解：原式＝
＝
＝
（2）计算：
分析：分解后，便有规可循，再求1到2002的和。
解：原式

＝
＝2002＋2001＋1999＋1998＋…＋3＋1
＝
＝2 005 003
【问题二】如果二次三项式 （ 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么 可以取那些值？
分析：由于 为整数，而且 在整数范围内可以分解因式，因此可以肯定 能用形如 型的多项式进行分解，其关键在于将－8分解为两个数的积，且使这两个数的和等于 ，由此可以求出所有可能的 的值。
答案： 的值可为7、－7、2、－2
跟踪训练：
一、填空题：
1、 ； ； ＝ 。
2、分解因式：
＝ ；
＝ ；
＝ 。
3、计算：1998×2002＝ ， ＝ 。
4、若 ，那么 ＝ 。
5、如果 为完全平方数，则 ＝ 。
6、 、 满足 ，分解因式 ＝ 。
二、选择题：
1、把多项式 因式分解的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如果二次三项式 可分解为 ，则 的值为（ ）
A、－1 B、1 C、－2 D、2
3、若 是一个完全平方式，那么 的值是（ ）
A、24 B、12 C、±12 D、±24
4、已知 可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A、61、63 B、61、65 C、61、67 D、63、65
三、解答题：
1、因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2、已知 ，求 的值。
3、计算：
4、观察下列等式：



……
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来： 。
5、已知 、 、 是△ABC的三边，且满足 ，试判断△ABC的形状。
阅读下面解题过程：
解：由 得：
①
②
即 ③
∴△ABC为Rt△。 ④
试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题的结论应为 。
参考答案
一、填空题：
1、 ， ， ；2、 ， ，
3、3 999
996 610；4、0；5、10或4；6、
二、选择题：DADD
三、解答题
1、（1） ； （2）
（3） ； （4）
（5）
2、
3、5050
4、
5、不正确，③，等式两边除以了可能为零的数，等腰或直角三角形。