定积分的几何应用举例

第五章第五节

定积分及其应用定积分的几何应用举例

主要内容：一、定积分的元素法； 二、平面图形的面积 ； 三、体积； 四、平面曲线的弧长 .1

一、 定积分的元素法设y f(x) 0(x [a, b]). 在几何上, 积分上限函数 表示以[a, x]为底的曲边梯形的面积. 微分 dA(x) f(x)dx 表示点 x 处以 dx为宽的小曲边梯形面积的近似值 DA f(x)dx, f(x)dx称为曲边梯形的面 积元素. 以 [a, b] 为底的曲边梯形的面积 A 就是以面积元素 f(x)dx为被积表达式, 以[a, b]为积分区间的定积分.2

A( x ) a f (t ) dt

x

相应于[x, x+dx]的部分面积 -- 面积元素: dA=f(x)dx 关于 x [a, b]累加得整体面积:A f ( x)dxa b

元素法: 1. 相应于[x, x+dx]的部分量(元素): dU=f(x)dx

2. 关于 x [a, b]累加得整体量:U f ( x)dxa3

b

二、平面图形的面积1.直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线 y f 上 (x) 与 y f 下 (x) 及左右两条直线 x a与x b所围成. 面积元素为 dA=[f上(x)- f下(x)]dx,平面图形的面积为 A a [ f上 ( x) - f下 ( x)]dx .b

A [ f 上 ( x) - f下 ( x)]dxa

b

A [j右 ( x) - j左 ( x)]dxa

b

由左右两条曲线 x j左(y)与 x j右(y) 及上下两条直线 y d与 y c 所围成的平面图形的面积: 面积元素为 dA=[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为 A c [j 右 ( y) -j 左 ( y)]dy .d

A [ f 上 ( x) - f下 ( x)]dxa

b

A [j右 ( x) - j左 ( x)]dxa

b

例1 计算抛物线y2 x与y x2所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在x轴上的投影区间: [0, 1];

(3) 确定上下曲线 : f 上 ( x) x , f 下 ( x) x 2 . (4)计算积分

A ( x - x 2 )dx0

1

[ 2 3

3 x2

1. - 1 x 3 ]1 3 0 3

A [ f 上 ( x) - f下 ( x)]dxa

b

A [j右 ( x) - j左 ( x)]dxa

b

例2 计算抛物线y2 2x与直线y x-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在y轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线:

j 左 ( y) 1 y 2 , j 右 ( y) y + 4 . 2(4)计算积分

y2 A ( y + 4 - )dy -2 2 [ 1 y 2 + 4 y - 1 y 3 ]4 - 2 18 . 2 647

三、体积1.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.

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三、体积1.旋转体的体积考虑由连续曲线y f(x)、直线x a、a b及x轴所围成的曲 边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积. 旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积 [f(x)]2dx作为切片体积的近似值, 于是体积元素为 dV [f(x)]2dx. 旋转体的体积

V a [ f ( x)]2 dx .

b

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b 旋转体的体积： V a [ f ( x)]2 dx .2 2 y x 例5 计算由椭圆 2 + 2 1 所成的图形绕x轴旋转而成的 a b 旋转体(

旋转椭球体)的体积. 解 旋转椭球体可以看作是由半个椭圆 y b a 2 - x 2 及 x a 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.

旋转椭球体的体积为2 b V - a y dx - a 2 (a 2 - x 2 )dx a 2 4 b 1 2 3 a 2 [a x - x ]- a ab 2 . 3 3 a a 2 a

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2.平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x轴的 截面面积为A(x).

立体的体积元素为 A(x)dx. 立体的体积为 V b A( x)dx . a

A(x)

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平行截面面积为A(x)的立体体积： V A( x)dx . a 例6 设平面图形 D 由曲线 y=2x-x2 与 x 轴所围, 求 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 如图示:

b

A( x) (2x - x2 )2 ,Vx (2 x - x 2 )2 dx0 2

y

(4 x 2 - 4 x3 + x 4 )dx0

2

y 2 x - x2O

4 3 1 5 2 4 [ x - x + x ]0 3 5 16 . 1515

x

2

x

平行截面面积为A(x)的立体体积： V A( x)dx . a 例6 设平面图形 D 由曲线 y=2x-x2 与 x 轴所围, 求 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 如图示:

b

A( y) (1 + 1 - y )2 - (1 - 1 - y )2

x 1 1- y

4 1 - y ,Vy 4 1 - y dy03 8 - [(1 - y ) 2 ]1 0 3 8 . 316

y

y 1 - ( x - 1) 2y 2 x - x2

1

y

O

2

x

四、平面曲线的弧长定义: 若在弧AB 上任意作内接折线, 当折线段的最大

边长 →0时, 折线的长度趋向于一个确定的极限, 则称此极限为曲线弧 AB 的弧长, 即n

y

M i -1

Mi

s lim M i -1M i 0i 1

并称此曲线弧为可求长的.

o

A M 0

B Mnx

定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.

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弧长元素(弧微分): ds (dx) 2 + (d y ) 2 (1)曲线弧:

x j (t ) ( t ) y y (t ) 2 2

ds d ydx

y f ( x)

ds j (t ) + (t ) dt

弧长:

s

2 2 j (t ) + (t ) d t

o a1 + f 2 ( x ) d x

xx+dx b x

(2)曲线弧: y f ( x) (a x b)弧长:s b a

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曲线x j(t)、y (t)( t )的弧长：s

j 2 (t ) + 2 (t ) dt .

例8 求摆线x a(q-sinq), y a(1-cosq)的一拱(0 q 2 )的 长度. 解 弧长元素为

q ds a 2 (1- cosq ) 2 + a 2 sin 2 q dq 2a sin d q . 2 于是所求弧长为s 0 2a sin q dq 2 q 2 2a[-2 cos ]0 8a. 22

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