2018-2019学年天津市南开区八年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为

轴对称图形的是（）

2.x的取值范围是（）

A. x≥-3

B. x≠0

C. x≥-3且x≠0

D. x≥3

3.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）

A. a（m+n）=am+an

B. a2-b2-c2=（a-b）（a+b）-c2

C. 10x2-5x=5x（2x-1）

D. x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x

4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的

动点，若PC=6cm，则PD的长可以是（）

A. 7cm

B. 4cm

C. 5cm

D. 3cm

5.已知点A（4，3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=-3对称，则

平面内点B的坐标为（

）

A. （0，-3）

B. （4，

-9） C. （4，0） D. （-10，3）

6.如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（）

A. 3

B. ±3

C. 6

D. ±

6

7.a的取值范围是（

）

A. -3≤a≤0

B. a≤0

C.

a＜0 D. a≥-3

8.

m为（）

A. -10

B. -40

C. -90

D. -160

9.已x）

A. 9

B. 8

10.如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP

于P，则△PBC的面积为（）

A. 2cm2

B. 3cm2

C. 4cm2

第1页，共18页

第2页，共18页 D. 5cm 2

11. 如图，∠ACB =90°，AC =BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，若AD =3，

BE =1，则DE =（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

12. 如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O ，

过点O 作EF ∥AB 交BC 于F ，交AC 于E ，过点O 作

OD ⊥BC 于D ，下列四个结论：

①∠AOB

C ； ②AE +BF =EF ；

③当∠C =90°时，E ，F 分别是AC ，BC 的中点；

④若OD =a ，CE +CF =2b ，则S △CEF =ab ．

其中正确的是（ ）

A. ①②

B. ③④

C. ①②④

D. ①③④

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 已知点A （x ，3）和B （4，y ）关于y 轴对称，则（x +y ）2019的值为______．

14. 如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD =4，连接BD ，

BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP

长的最小值为______．

15. 如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：

a =______．

16. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为3，过AB 边上

一点P 作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，

取BA =CQ ，连接PQ ，交AC 于M ，则EM 的长为______．

17. 如果代数式m 2+2m =1÷______．

18. 如图，Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点．∠MDN =90°，∠MDN 绕点D 旋转，

DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论：

①△DEF 是等腰直角三角形；

②AE =CF ；

③

△

BDE

≌△ADF ；

④BE +CF =EF ；

第3页，共18页 ⑤S 四边形AEDF

2，

其中正确结论是______（填序号）

三、计算题（本大题共2小题，共17.0分）

19. 计算

（Ⅰ

-1

（Ⅱ）因式分解，（x +2）（x -6）+16

（Ⅲ

x =2

20.

四、解答题（本大题共4小题，共29.0分）

21. 如图所示，△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，D 在BA 的延长

线上，且AD =AE ，连接DE ．求证：DE ⊥BC ．

第4页，共18页

22. 如图，∠BAC 的角平分线与BC 的垂直平分线交于点

D ，D

E ⊥AB ，D

F ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．若AB =10，

AC =8，求BE 长．

23. 2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和

谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更

好．已知“太原南-北京西”全程大约500千米，“复

兴号”G 92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车

多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行

“复兴号”G 92次列车从太原南到北京西，中途只有

石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G 92次列车从太原南到北京西需要多长时间．

24. 如图，在△ABC 中，BC =5，高AD 、BE 相交于点O ，BD

，且AE =BE ．

（1）求线段AO 的长；

（2）动点P 从点O 出发，沿线段OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，动点Q 从点B 出发沿射线BC 以每秒4个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出

发，当点P 到达A 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t 秒，△POQ

的面积为S ，请用含t 的式子表示S ，并直接写出相应的t 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，点F 是直线AC 上的一点且CF =BO ．是否存在t 值，使以点B 、O 、P 为顶点的三角形与以点F 、C 、Q 为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t 值；若不存在，请说明理由．

第5页，共18页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．故选：D．

根据轴对称图形的概念求解．

本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．

2.【答案】C

【解析】

解：由题

∴x≥-3且x≠0

故选：C．

根据二次根式有意义的条件即可求出答案．

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型．

3.【答案】C

【解析】

解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；

（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；

（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；

故选：C．

根据因式分解的意义即可判断．

本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．

4.【答案】A

【解析】

解：作PD⊥OB于D，

∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，

∴PD=PC=6cm，

第6页，共18页

则PD的最小值是6cm，

故选：A．

过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得

PC=PD，再根据垂线段最短解答即可．

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．

5.【答案】D

【解析】

解：设点B的横坐标为x，

∵点A（4，3）与点B关于直线x=-3对称，

，

解得x=-10，

∵点A、B关于直线x=-3对称，

∴点A、B的纵坐标相等，

∴点B（-10，3）．

故选：D．

根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可．

本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．

6.【答案】B

【解析】

解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，

∴m=±3，

故选：B．

根据完全平方公式是和的平方加减积的2倍，可得m的值．

本题考查了完全平方公式，完全平方公式是两数的平方和加减积的2倍，注

意符合条件的m值有两个．

第7页，共18页

第8页，共18页 7.【答案】A

【解析】

解：由题意得，a≤0，a+3≥0，

解得，a≤0，a≥-3，

则a 的取值范围是-3≤a≤0，

故选：A ．

根据二次根式的概念列出不等式，解不等式即可．

本题考查的是二次根式的性质和化简，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

8.【答案】A

【解析】

解：

∴满足条件的最大负整数m 为：-10．

故选：A ．

直接利用二次根式的定义分析得出答案．

此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键． 9.【答案】D

【解析】

解：∵

， ∴（

2=9，即x 2

， ∴x 2

则

故

选：D ．

由

得x 2

，将待求分式分子、分母都除以x 2可得原式代入计算可得．

本题主要考查分式的值，解题的关键是掌握完全平方公式和分式的基本性质．

10.【答案】C

【解析】

第9页，共18页 解：延长AP 交BC 于E ，

∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，

∴∠ABP=∠EBP ，∠APB=∠BPE=90°

， 在△APB 和△EPB 中

∴△APB ≌△EPB （ASA ），

∴S △APB =S △EPB ，AP=PE ，

∴△APC 和△CPE 等底同高，

∴S △APC =S △PCE ，

∴S △PBC =S △PBE +S △PCE

△ABC =4cm 2， 故选：C ．

延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积．

本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S △PBC =S △PBE +S △PCE

△ABC ．

11.【答案】B

【解析】 解：AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，

∴∠ADC=∠BEC=90°

． ∵∠BCE+∠CBE=90°

，∠BCE+∠CAD=90°， ∠DCA=∠CBE ，

在△ACD 和△CBE

∴△ACD ≌△CBE （AAS ），

∴CE=AD=3，CD=BE=1，

DE=CE-CD=3-1=2，

故选：B ．

根据余角的性质，可得∠DCA 与∠CBE 的关系，根据AAS 可得△ACD 与△△CBE 的关系，根据全等三角形的性质，可得AD 与CE 的关系，根据线

段的

第10页，共18页 和差，可得答案．

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质． 12.【答案】C

【解析】

解：∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O ，

∴∠

CBA ，∠

CAB ，

∴∠AOB=180°

-∠OBA-∠OAB

CAB

180°-∠C ）

=90°C ，①正确；

∵EF ∥AB ，

∴∠FOB=∠ABO ，又∠ABO=∠FBO ，

∴∠FOB=∠FBO ，

∴FO=FB ，

同理EO=EA ，

∴AE+BF=EF ，②正确；

当∠C=90°

时，AE+BF=EF ＜CF+CE ， ∴E ，F 不是AC ，BC 的中点，③错误；

作OH ⊥AC 于H ，

∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O ，

∴点O 在∠C 的平分线上，

∴OD=OH ，

∴S △

CEF

CF×CE×OH=ab ，④正确．

故选：C ．

根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④．

本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，掌握角的平分

线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

13.【答案】-1

【解析】

解：∵点A（x，3）和B（4，y）关于y轴对称，

∴x=-4，y=3，

∴（x+y）2019的值为：-1．

故答案为：-1．

直接利用关于y轴对称点的性质，纵坐标相同，横坐标互为相反数得出x，y

的值，进而得出答案．

此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

14.【答案】4

【解析】

解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，

∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，

∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，

∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，

∴AD=DP，又AD=4，

∴DP=4．

故答案为：4．

根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得

AD=DP，由AD的长可得DP的长．

本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解

题的关键在于确定好DP垂直于BC．

15.【答案】2

【解析】

解：由数轴可得：

0＜a＜2，

则

=a+（2-a）

=2．

第11页，共18页

第12页，共18页 故答案为：2．

直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a 的取值范围进而化简即可． 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a 的取值范围是解题关键．

16.

【解析】

解：过P 作PF ∥BC 交AC 于F ，如图所示：

∵PF ∥BC ，△ABC 是等边三角形，

∴∠PFM=∠QCM ，∠APF=∠B=60°

，∠AFP=∠ACB=60°

，∠A=60°， ∴△APF 是等边三角形，

∴AP=PF=AF ，

∵PE ⊥AC ，

∴AE=EF ，

∵AP=PF ，AP=CQ ，

∴PF=CQ ，

在△PFM 和△QCM 中，

），

∴FM=CM ，

∵AE=EF ，

∴EF+FM=AE+CM ，

∴

， ∵AC=3，

∴

故答案为

过P 作PF ∥BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP=PF=QC ，根据等腰三角形性质求出EF=AE ，证△PFM ≌△QCM ，推出FM=CM ，推出

即可．

本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质

和判定，等腰

三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．

17.【答案】1

【解析】

÷

=m2+2m，

因为m2+2m=1，

÷值为1，

故答案为：1

先化简，再整体代入解答即可．

此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】①②③

【解析】

解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，

∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，

∵∠MDN=90°，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△AED与△CFD中，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF，ED=FD．故①②正确；

又∵△ABD≌△ACD，

∴△BDE≌△ADF．故③正确；

∵△AED≌△CFD，

∴AE=CF，ED=FD，

∴

，

∵

，BD＞ED，

∴BE+CF＞EF．故④错误；

∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，

第13页，共18页

第14页，共18页 ∴S 四边形AEDF =S △ADC

2．故⑤错误．

综上所述，正确结论是①②③．

故答案是：①②③．

先由ASA 证明△AED ≌△CFD ，得出AE=CF ，DE=FD ；再由全等三角形的性质得到BE+CF=AB ，由勾股定理求得EF 与AB 的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S 四边形AEDF =S △ADC

2，从而判定⑤的正误． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．

19.【答案】解：（Ⅰ）原式

；

（Ⅱ）原式=x 2-4x -12+16

=x 2-4x +4

=（x -2）2；

（Ⅲ）原式

，

当x =2时，原式

【解析】

（Ⅰ）先化简各二次根式，根据负整数指数幂和绝对值性质计算、化简，再合并同类二次根式即可得；

（Ⅱ）先将原式展开、合并，再根据完全平方公式因式分解即可得；

（Ⅲ）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x 的值代入计算可得． 本题主要考查二次根式的混合运算、因式分解与分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则．

20.【答案】解：去分母得：x 2-x 2+2x =x -2，

解得：x =-2，

经检验x =-2是分式方程的解．

【解析】

第15页，共18页 首先将分式方程去分母转化为整式方程，然后求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验根． 21.【答案】证明：如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，

∵AB =AC ，

∴∠BAC =2∠BAM ，

∵AD =AE ，

∴∠D =∠AED ，

∴∠BAC =∠D +∠AED =2∠D ，

∴∠BAC =2∠BAM =2∠D ，

∴∠BAM =∠D ，

∴DE ∥AM ，

∵AM ⊥BC ，

∴DE ⊥BC ．

【解析】

过A 作AM ⊥BC 于M ，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC=2∠BAM ，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D ，则∠BAM=∠D ，根据平行线的判定得出DE ∥AM ，进而得到DE ⊥BC ．

本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．

22.【答案】解：如图，连接CD ，BD ，

∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，

∴DF =DE ，∠F =∠DEB =90°，∠ADF =∠ADE ，

∴AE =AF ，

∵DG 是BC 的垂直平分线，

∴CD =BD ，

在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，

∴Rt △CDF ≌Rt △BDE （HL ），

∴BE =CF ，

∴AB =AE +BE =AF +BE =AC +CF +BE =AC +2BE ，

∵AB =10，AC =8，

∴BE =1．

【解析】

首先连接CD ，BD ，由∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D

，

DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得

CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得

BE=CF，继而求得答案．

此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

23.【答案】解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，

小时，

，

解得：x

经检验，x =

∴x

答：乘坐“复兴号”G92

【解析】

设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则“和谐号”列车的行驶时间

小时，根据速度=路程÷时间结合“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

24.【答案】解：（1）如图1中，

第16页，共18页