基于相离度和熵的不确定语言多属性决策方法

研究了属性权重完全未知、属性值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题。首先引入了不确定语言变量的运算法则,以及不确定语言变量之间比较的可能度公式,给出了不确定语言变量间的距离的概念。针对属性权重完全未知的情形,利用待评方案综合属性值之间的相离度

基于相离度和熵的不确定语言多属性决策方法

卫贵武1,2

1西南交通大学经济管理学院，四川成都 (610031)

2川北医学院数学系，四川南充 (637007)

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摘 要：研究了属性权重完全未知、属性值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题。首先引入了不确定语言变量的运算法则，以及不确定语言变量之间比较的可能度公式，给出了不确定语言变量间的距离的概念。针对属性权重完全未知的情形，利用待评方案综合属性值之间的相离度和属性权系数的随机性，给出了一种不确定语言变量多属性决策方法。该方法利用优化方法建立数学模型，以待评方案综合属性值之间的相离度和权系数信息熵最大化为优化目标，用拉格朗日乘子法给出模型的最优解，得到属性的权系数。该方法能够结合决策者的主观意志和客观事实，精确确定各属性的权系数。然后利用不确定语言加权平均(ULWA)算子，对不确定语言决策信息进行加权集成，并利用可能度公式构造可能度矩阵(互补判断矩阵)，继而利用互补判断矩阵排序公式对决策方案进行排序和择优。最后进行了实例分析。

关键词：多属性决策；不确定语言变量；ULWA算子；信息熵；相离度 中图分类号：C934 文献标识码：A

1. 引言

人们在对诸如人的思想品德、汽车性能等问题进行评估时往往会直接给出定性的评估信息(如：优，良，差等语言形式)，因此对属性值以语言变量或不确定语言变量形式给出的多属性决策问题的研究具有重要的理论和实际应用价值。目前国内外有关该问题的研究已经有一部分成果[1-11]。由于客观事物的复杂性、不确定性以及人类思维的模糊性，当专家受一些主、客观因素制约时，属性值往往以语言变量或不确定语言变量的形式给出，并且只能获取部分属性权重的信息，甚至对属性权重信息完全未知，因此对该类多属性决策问题的研究已引起了人们的关注。文献[8]对属性取值为语言变量，属性权重信息完全未知的多属性决策问题，给出了一种求解属性权重的简洁公式，同时对属性取值为语言变量，属性权重信息不完全的多属性决策问题，基于极小极大算子给出了一种决定属性权重的优化模型，最后通过LWAA算子集结属性信息。文献[9]对属性取值为语言变量，属性权重信息不完全的多属性决策问题，给出了一种交互式的决策方法。文献[10]对属性取值为语言变量，属性权重信息完全未知的多属性群决策问题，基于离差最大化的思想，给出了一种求解属性权重的公式。文献[11]对属性取值为语言变量或不确定语言变量，属性权重信息不完全且对方案有偏好的多属性决策问题，给出了解决该问题的线性规划模型。

本文针对属性权重信息完全未知，且属性值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题进行了研究。为此，本文首先引入不确定语言变量的概念及其运算法则，然后结合文献[12-13]的思想,对于不确定语言多属性决策问题,综合考虑待评方案综合属性值之间相离度最大化和权系数的随机性,引入Shannon熵[14]来描述权系数的不确定性,给出一种新的计算属性权系数的方法。该方法以待评方案综合属性值之间相离度最大化和Jaynes最大熵原理[14]为依据,建立了确定属性权系数的优化模型,并给出了模型的精确解。随后利用不确定语言加权平均(ULWA)算子，对不确定语言决策信息进行加权集成，并利用可能度公式构造可能度矩阵(互补判断矩阵)，继而利用互补判断矩阵排序公式对决策方案进行排序和择优。最后通过实例说明了此方法的有效性。

研究了属性权重完全未知、属性值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题。首先引入了不确定语言变量的运算法则,以及不确定语言变量之间比较的可能度公式,给出了不确定语言变量间的距离的概念。针对属性权重完全未知的情形,利用待评方案综合属性值之间的相离度

2. 不确定语言变量及其运算法则

决策者在进行定性测度时，一般需要适当的语言评估标度，可事先设定语言评估标度

S={sii= t,L,t}，S中的术语个数一般为奇数，且满足下列条件[1,4,5]：

(1) 若i>j，则si>sj；(2)存在负算子neg(si)=s i；(3)若si≥sj，则maxsi,sj=si；(4)若si≤sj，则minsi,sj=si。

例如S可以定义如下：

()

()

S={s-4=极差,s-3=很差,s-2=差，s-1=稍差,s0=一般,

s1=稍好，s2=好,s3=很好,s4=极好}

为了便于计算和避免丢失决策信息，在原有标度S={si}(i= t,L,t)的基础上定义一个拓展标度=saa∈[ q,q]，其中q是一个充分大的数，且若si∈S，则称si为本原术语；否则，称si为拓展术语。一般地，决策者运用本原术语评估决策方案，而拓展术语只在运算和排序过程中出现[1,4,5]。

{}

%为不确定语%=[sα,sβ]，其中sα,sβ∈，sα和sβ分别表示下限和上限，则称s如果s

%为所有不确定语言变量构成的集合。 言变量，并令S

%2= %1= %= 对于任意三个不确定语言变量，s sα,sβ ,s sα2,sβ2 , 其中， sα1,sβ1 和 s% , 以及λ∈[0,1],不确定语言变量的运算法则为[1,4,5]: %,s%1,s%2∈Ss

%1⊕s%2= (1) s sα1,sβ1 ⊕ sα2,sβ2 = sα1⊕sα2,sβ1⊕sβ2 = sα1+α2,sβ1+β2 ；

(2)

%=λ λs sα,sβ = λsα,λsβ = sλα,sλβ .

对于具有不确定语言决策信息的多属性决策问题，在选择方案过程中，一般需要对不确定语言变量进行比较和排序。为此，下面给出一个简洁的度量公式。

%1= %2= 定义1[1,4,5,6,7] 设s sα1,sβ1 和s sα2,sβ2 为两个不确定语言变量, 同时令 %1≥s%2 的可能%1)=β1 α1 和len(s%2)=β2 α2为两个不确定语言变量的长度, 那么slen(s

度定义为：

%1≥s%2)= p(s

%1)+len(s%2) max(β2 α1,0))max(0,len(s

%1+lens%2lens

(1)

由定义1, 可能度有下列优良性质：

%1≥s%2)≤1,0≤p(s%2≥s%1)≤1； (1) 0≤p(s

%1≥s%2)+p(s%2≥s%1)=1.特别地,p(s%1≥s%1)=p(s%2≥s%2)=0.5. (2) p(s

%1= %2= %1与s%2之间定义2[7]设s sα1,sβ1 和s sα2,sβ2 为两个不确定语言变量, 那么s

的距离定义为：

%1,s%2)=d(s

1

(β1 β2+α1 α2) (2) 2

研究了属性权重完全未知、属性值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题。首先引入了不确定语言变量的运算法则,以及不确定语言变量之间比较的可能度公式,给出了不确定语言变量间的距离的概念。针对属性权重完全未知的情形,利用待评方案综合属性值之间的相离度

%定义3 设ULWA:S

[4]

()

n

%,若 →S

%1,s%2,L,s%n)=w1s%1⊕w2s%2⊕L⊕wns%n (3) ULWAsλ(s

%i(i=1,2,L,n)的加权向量，其中，w=(w1,w2,L,w3)为不确定语言数据组s

wj∈[0,1]，j=1,2,L,n,∑wj=1，则称函数ULWA为n维不确定语言加权平均(ULWA)

j=1n

T

算子。

%1=[s1,s2], s%2=[s1,s4],s%3=[s0,s2]和 例1 设w=(0.2,0.1,0.3,0.4), s%4=[s2,s4], 由ULWA算子得到： s

%1,s%2,s%3,s%4)=0.2×[s1,s2]⊕0.1×[s1,s4]⊕0.3×[s0,s2]⊕0.4×[s2,s4]=[s1.1,s3.0] ULWAw(s

T

3. 基于相离度和熵的不确定语言多属性决策方法

对于不确定语言多属性决策问题，设决策者对于方案Ai∈A(A1,A2,L,Am)关于属性

%,从而构成不%ij∈SGj∈G(G1,G2,L,Gn)进行测度，得到方案Ai关于属性Gj的属性值为r

%=r%ij确定语言决策矩阵R

n

()

m×n

，其中w=(w1,w2,L,w3)为属性权重向量，wj∈[0,1]，

T

j=1,2,L,n,∑wj=1。且令M={1,2,L,m},N={1,2,L,n}。

j=1

%=r%ij利用ULWA算子对决策者的不确定语言决策矩阵R

策方案Ai关于属性Gj的综合属性值

()

m×n

的属性值进行集结，得到决

%i1,r%i2,L,r%in)=w1r%i1⊕w2r%i2⊕L⊕wnr%in，i∈M,j∈N. (4) %i(w)=ULWAw(rz

%i(w)越大，则其所对应的方案Ai越优，在权重向量已经确知的情显然，综合属性值z

况下，很容易对方案进行排序。

由于客观 事物的复杂性及人类思维的模糊性，人们往往难以给出明确的属性权重。有时会出现属性权重完全未知这种极端情形。在这种情况下，需要事先确定属性的权重。

有限个方案的多属性决策，实质上是对这些方案综合属性值的排序比较。若所有决策方则说明该属性对方案决策与排序所起的作用越小；反之，案在属性Gj下的属性值差异越小，

如果属性Gj能使所有决策方案的属性值有较大偏差，则说明其对方案决策与排序将起重要作用。因此，从对决策方案进行排序的角度考虑，方案属性值偏差越大的属性应该赋予越大的权重，方案属性值偏差越小的属性应该赋予越小的权重。特别地，若所有决策方案在属性

Gj下的属性值无差异，则属性Gj对方案排序将不起作用，可令其权重为零。

对于属性Gj，若决策方案Ai与其它所有决策方案的偏差用Dij(w)表示，可以定义为

%ij,r%kj)wj,i∈M,j∈N. (5) Dij(w)=∑d(r

k=1

m

因此，对属性Gj而言，各决策方案与其它决策方案的属性值的偏差为：

研究了属性权重完全未知、属性值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题。首先引入了不确定语言变量的运算法则,以及不确定语言变量之间比较的可能度公式,给出了不确定语言变量间的距离的概念。针对属性权重完全未知的情形,利用待评方案综合属性值之间的相离度

%ij,r%kj)wj,j∈N. (6) Dj(w)=∑Dij(w)=∑∑d(r

i=1

i=1k=1

mmm

系统评价的目的，就是要确定一个合理的属性权系数，使所有评价属性对所有待评方案之总离差为最大，即极大化：

n

n

m

m

%ij,r%kj)wj maxD(w)=∑Dj(w)=∑∑∑d(r

j=1

j=1i=1k=1

s..t

∑w

j=1

n

j

=1,wj≥0,j∈N.

同时由于各属性的真实权实数是一个随机变量，具有不确定性。由于属性权重满足

∑w

j=1

n

j

=1,wj≥0,j=1,2,L,n。因此可将权系数wj理解为第j个属性Gj在属性集中所占

比重（“概率”），这样就可以用Shannon信息熵[14]

H= ∑wjlnwj (7)

j=1

n

来表示属性权系数的不确定性。

多属性决策的另一个目的就是尽量消除各属性权系数的不确定性，根据Jaynes最大熵原理[14]，确定的属性权系数应使Shannon熵取极大，

n

maxH= ∑wjlnwj (8)

j=1

s..t

∑w

j=1

n

j

=1,wj≥0,j=1,2,L,n.

为达到上述两个目的，求解权向量w就等价于求解如下最优化问题(9)。

%ij,r%kj)wj (1 u)∑wjlnwj maxu∑∑∑d(r

j=1i=1k=1

j=1

nmmn

s..t

∑w

j=1

n

j

=1,wj≥0,j=1,2,L,n. （9）

其中u为正参数，满足0<u<1，用来表示上述两个目标之间的平衡系数，可根据实际问题给出。下面求解优化问题。先构造Lagrange函数

n %ij,r%kj)wj (1 u)∑wjlnwj λ ∑wj 1 (10) L(w,λ)=u∑∑∑d(r

j=1j=1i=1k=1 j=1

n

m

m

n

根据极值存在的必要条件，有

mm

L

%ij,r%kj) (1 u)(lnwj+1) λ=0 =u∑∑d(r

wji=1k=1n L

=∑wj 1=0 λj=1

从而解得权重向量w：

研究了属性权重完全未知、属性值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题。首先引入了不确定语言变量的运算法则,以及不确定语言变量之间比较的可能度公式,给出了不确定语言变量间的距离的概念。针对属性权重完全未知的情形,利用待评方案综合属性值之间的相离度

mm

%ij,r%kj)1 u) 1 exp u∑∑d(r

i=1k=1 ，j=1,2,L,n. (11)

wj=n

mm

%%expudr,r1u1 )∑ ∑∑(ijkj)

j=1 i=1k=1

综上所述，我们给出如下算法：

步骤1设决策者对于方案Ai∈A(A1,A2,L,Am)关于属性Gj∈G(G1,G2,L,Gn)进行

%,从而得到不确定语言决策矩阵%ij∈S测度，得到方案Ai关于属性Gj的属性值为r

%=(r%ij)R

m×n

。

步骤2 利用式(11)求出最优属性权重向量w，令式中u=0.2。

%i(w)。 步骤3 由式(4)求得各方案综合属性值z

%i(w)(i∈M)进行两两比较，并构造可能度矩阵(或称之为互补判步骤4 利用式(1)对z

断矩阵) P=pij

()

m×m

，其中

%i(w)≥z%j(w)),pij≥0,pij+pji=1,pii=0.5,i,j∈M pij=p(z

步骤5 利用文献[15]中给出的一个简洁公式

m1m

ωi=p+ 1 ,i∈M ∑ij

2 mm 1 j=1

(12)

求得互补判断矩阵P的排序向量ω=(ω1,ω2,L,ωm)。

步骤6 根据ωi的值对方案进行降序排列，ωi的值越大，对应的方案越优。

T

.

4. 实例分析

考虑某个风险投资公司进行项目投资问题[16],有5个备选企业A1 A5,4个评价属性

G1 G4(属性分别为风险分析,成长分析,社会政治影响分析和环境影响分析).

决策者利用语言评估标度

S={s-4=极差,s-3=很差,s-2=差，s-1=稍差,s0=一般,

s1=稍好，s2=好,s3=很好,s4=极好}

所得的评估矩阵为

G1

A1 [s2,s3]

A2 [s1,s2]A3 [s2,s4]

A4 [s2,s3]A5 [s3,s4]

G2G3G4

[s3,s4][s1,s2][s1,s2]

[s 1,s3][s3,s4][s2,s3]

[s1,s3][s1,s2][s0,s1]

[s1,s2][s2,s3][s2,s3] [s0,s3][s1,s4][s3,s4]

试确定最佳投资企业。下面利用本文所给的方法进行求解。

步骤1 由于属性权重信息完全未知，则利用式(11)求得最优属性权重向量w为

研究了属性权重完全未知、属性值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题。首先引入了不确定语言变量的运算法则,以及不确定语言变量之间比较的可能度公式,给出了不确定语言变量间的距离的概念。针对属性权重完全未知的情形,利用待评方案综合属性值之间的相离度

w=(0.04290.31730.11670.5231)

%i(w)(i=1,2,L,5) 步骤2利用式(4)求得方案Ai(i=1,2,L,5)的综合属性值z

T

%1(w)=[s1.68,s2.68],z%2(w)=[s1.12,s3.07],z%3(w)=[s0.52,s1.88]z

%4(w)=[s1.68,s2.68],z%5(w)=[s1.81,s3.68]z

%i(w)(i=1,2,L,5)进行两两比较，构造可能度矩阵 步骤3根据式(1)，对z

0.52700.91420.49740.3008

0.50000.77110.47130.3296 0.22890.50000.08360.0202

0.52870.91640.50000.3026 0.67040.97980.69740.5000

步骤4 由式(12)求得互补判断矩阵P的排序向量

0.5000 0.4730

P= 0.0858

0.5026 0.6992

ω=(0.21200.20230.12090.21250.2523)

%i(w)(i=1,2,L,5)按降序进行排列，得 步骤5 并利用ωi(i=1,2,L,5)对z%5(w)>z%4(w)>z%1(w)>z2(w)>z%3(w) z

依此对方案Ai(i=1,2,L,5)进行排序，得 A5>A4>A1>A2>A3 因此最优方案为A5。

T

5. 结束语

本文研究了属性权重完全未知，属性值和对方案的主观偏好值以不确定语言变量形式给出的多属性决策问题。利用不确定语言变量的运算法则，针对属性权重完全未知的情形，利用待评方案综合评价值之间的相离度最大化和属性权系数的随机性，给出了一种新的不确定语言多属性决策的赋权方法，该方法以优化理论和Jaynes最大熵原理为依据，以待评方案综合评价值之间的相离度和权系数的信息熵最大化为目标，建立了优化模型，并给出了属性权重的精确解。然后利用不确定语言加权平均(ULWA)算子，对不确定语言决策信息进行加权集成，进而对决策方案进行排序和择优。从实例可以看出本文给出的方法不但计算简单，可信度高，而且可广泛应用于投资决策、人事管理、项目评估、经济效益综合评价等诸多领域。

研究了属性权重完全未知、属性值以不确定语言变量形式给出的不确定语言多属性决策问题。首先引入了不确定语言变量的运算法则,以及不确定语言变量之间比较的可能度公式,给出了不确定语言变量间的距离的概念。针对属性权重完全未知的情形,利用待评方案综合属性值之间的相离度

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Method for uncertain linguistic multiple attribute decision

making based on deviation degree and entropy

Wei Guiwu1,2

1 School of Economics and Management, Southwest Jiaotong University,Chengdu,

China (610031)

2 Department of Mathematics, North Sichuan Medical College, Nanchong,China (637007) Abstract

In this paper, we study the multiple attribute decision making problems, in which the information about attribute weights is completely unknown and the attribute values and preference information on alternatives take the form of uncertain linguistic variables. We introduce the operational laws of uncertain linguistic variables and a formula of possibility degree for the comparison between uncertain linguistic variables, and then define the concept of deviation degree between uncertain linguistic variables. A new method of uncertain linguistic multiple attribute decision-making is presented. Applying the deviation degree of decision projects and the randomicity of attribute weight coefficients, a new mathematical programming model is established. The objective is to maximize the deviation degree of decision projects and to maximize the entropy of weights of each attribute. The optimal solution is the best attribute weight coefficients, which is solved by the Lagrange multiple method. And the exact and reliable decision results combining the subjectivity and the facts are obtained. Then we utilize the uncertain linguistic weighting average (ULWA) operator to aggregate the uncertain linguistic variables corresponding to each alternative, and utilize the formula of possibility degree to construct a possibility degree matrix (or called complementary judgement matrix), and then utilize the priority formula of complementary judgement matrix to rank the alternatives and select the most desirable one(s). Finally, an illustrative example is shown to highlight the procedure of the proposed algorithm at the end of this paper.

Keywords: multiple attribute decision making; uncertain linguistic variables; uncertain linguistic weighted averaging (ULWA) operator； entropy; deviation degree