2018-2019学年九年级数学下册 第2章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.3 切线长定理练

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1 2.5.3 切线长定理

知|识|目|标

1．通过画图、折纸操作，理解切线长的概念及切线长定理．

2．在理解切线长定理的基础上，能运用切线长定理解决有关问题

.

目标一 理解切线长的概念与切线长定理

例1 教材补充例题如图2－5－13所示，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，连接PO ，交⊙O 于点D ，交AB 于点C ，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一

个结论给予证明．

图2－5－13

【归纳总结】切线长定理中的基本图形：

如图2－5－14，PA ，PB 为⊙O 的切线，此图形中含有：

图2－5－14

(1)两个等腰三角形 (△PAB ，△OAB )；

(2)一条特殊的角平分线( OP 平分 ∠APB 和∠AOB )；

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2 (3)三个垂直关系 (OA ⊥PA, OB ⊥PB ，OP ⊥AB )．

目标二 能运用切线长定理解决有关问题

例2 高频考题如图2－5－15所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别是A ，B ，Q 为AB ︵上一点，

过点Q 作⊙O 的切线，分别交PA ，PB 于点E ，F .已知PA ＝12 cm ，∠P ＝70°.求：

(1)△PEF 的周长；

(2)∠EOF 的度数．

图2－5－15

【归纳总结】运用切线长定理解决有关问题：

(1)在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建基本图形：

①连接圆心和切点；

②连接两个切点；

③连接圆心和两切线的交点．

(2)在运用切线长定理解决问题时，要注意分解、提炼出切线长定理的基本图形，挖掘图形中

的常见几何关系：

①线段相等、弧相等；

②角相等、角的互余关系；

③线段的垂直关系；

④全等三角形与相似三角形．

知识点 切线长的概念与切线长定理

(1)切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的

切线长．

(2)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线

的夹角．

[注意] 切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能量度；切线长是线段的长，这条

线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以量度．

如图2－5－16，PA ，PB ，CD 分别切⊙O 于点A ，B ，E ，CD 交PA ，PB 于C ，D 两点，若∠P ＝

40°，则∠PAE ＋∠PBE 的度数为( )

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图2－5－16

A．140°B．62°

C．66° D．70°

答案：A

以上答案是否正确？若不正确，请给出正确答案．

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教师详解详析

【目标突破】

例1 解：答案不唯一，如图所示，

结论：①∠3＝∠4或∠7＝∠8或∠1＝∠5或∠2＝∠6；②OP ⊥AB ；③AC ＝BC.

选择证明②：∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.在Rt △

OAP 与Rt △OBP 中，∵⎩

⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，OP ＝OP ，∴Rt △OAP ≌Rt △OBP ，∴PA ＝PB ，∠1＝∠2，∴OP ⊥AB. 例2 解： (1)∵PA ，PB ，EF 是⊙O 的切线，

∴PA ＝PB ，EA ＝EQ ，FQ ＝FB ，

∴△PEF 的周长＝PE ＋PF ＋EQ ＋FQ ＝PA ＋PB ＝24(cm )．

(2)连接OA ，OB ，OQ.∵PA ，PB ，EF 是⊙O 的切线，

∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，EF ⊥OQ ，

∠AEO ＝∠QEO ，∠QFO ＝∠BFO ，

∴∠AOE ＝∠QOE ，∠BOF ＝∠QOF.

又∵∠AOB ＝180°－∠P ＝110°，

∴∠EOF ＝12

∠AOB ＝55°

. [备选例题] 已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 相切于点D.

求证：DE ∥OC.

证明： 如图，连接BD.

∵∠ABC ＝90°，OB 为⊙O 的半径，

∴CB 是⊙O 的切线．

∵AC 是⊙O 的切线，D 是切点，

∴CD ＝CB ，∠1＝∠2，

∴OC ⊥BD.∵BE 是⊙O 的直径，

∴DE ⊥BD ，∴DE ∥OC.

【总结反思】

[反思] 不正确．

正解：∵PA ，PB ，CD 分别切⊙O 于点A ，B ，E ，CD 交PA ，PB 于C ，D 两点，

∴CE ＝CA ，DE ＝DB ，

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5 ∴∠CAE ＝∠CEA ，∠DEB ＝∠DBE ，

∴∠PCD ＝∠CAE ＋∠CEA ＝2∠CAE ，∠PDC ＝∠DEB ＋∠DBE ＝2∠DBE ，

∴∠CAE ＝12∠PCD ，∠DBE ＝12

∠PDC ， 即∠PAE ＝12∠PCD ，∠PBE ＝12

∠PDC. ∵∠P ＝40°，∴∠PAE ＋∠PBE ＝12∠PCD ＋12∠PDC ＝12(∠PCD ＋∠PDC)＝12

(180°－∠P)＝70°.故选D .