第 8 章 弯曲刚度

第 8 章 弯曲刚度

第8章弯曲刚度§8-1 弯曲变形与位移的基本概念 §8-2 小挠度微分方程及其积分 §8-3 工程中的叠加法 §8-4 简单的静不定梁 §8-5 弯曲刚度计算

第 8 章

弯曲强度

弯曲变形与位移的基本概念

§8-1 弯曲变形与位移的基本概念一、梁弯曲后的挠度曲线 在弹性范围内加载时， 在弹性范围内加载时，梁的轴线在弯曲后变成一连续 光滑的曲线，这一连续光滑曲线称为挠度曲线。 光滑的曲线，这一连续光滑曲线称为挠度曲线。

qA

ρ( x )B

M = ρ EI z1 M( x ) = ρ( x ) EI z

1

x

第 8 章

弯曲强度

弯曲变形与位移的基本概念

二、梁的挠度与转角

qA

ρ( x )B

x

w

x

w

1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。 挠度 用“w” 表示。 ” 表示。

w = w( x )

挠度方程

挠度向下为正；向上为负。 挠度向下为正；向上为负。

第 8 章

弯曲强度

弯曲变形与位移的基本概念

qA

ρ( x )B

x

w

x

θ

w

2.转角：横截面绕中性轴转过的角度。 2.转角：横截面绕中性轴转过的角度。 转角 表示。 用“θ” 表示。 θ = θ ( x ) 顺时针为正；逆时针为负。 顺时针为正；逆时针为负。 转角方程

第 8 章

弯曲强度

弯曲变形与位移的基本概念

qA

ρ( x )B

x

w

x

θ

w

θ

3.挠度和转角的关系 3.挠度和转角的关系dw tg θ = = w ′( x ) = w ′ dx

即： θ = w′ 横截面上的转角等于挠曲线在该截面处的斜率

第 8 章

弯曲强度

弯曲变形与位移的基本概念

三、梁的位移与约束密切相关

M = Fpa

A

B

M = Fpa因为 B

lCA

Fp

a

l

a

D M = F pa ′ Fp 所以

′ FpC Fp

a

A

l

B

M = ρ EI z

1

第 8 章

弯曲强度

弯曲变形与位移的基本概念

四、梁的位移分析的工程意义

AFp

B

C

a

dl

对于主要承受弯曲的梁和轴， 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响 构件或零件的正常工作。 构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿 轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声； 轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠 度过大会影响加工精度； 度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角 如果过大会增加轴承的磨损等等。 如果过大会增加轴承的磨损等等。

第 8 章

弯曲强度

小挠度微分方程及其积分

§8-2 小挠度微分方程及其积分 一、 小挠度微分方程1 M( x ) = ρ( x ) EI z曲率与弯矩的关系 B1 = 3 2 ρ( x ) 2 dw 1+ dx d 2w dx2

qA

ρ( x )

x

曲率与挠度曲线的关系(数学表达式) 曲率与挠度曲线的关系(数学表达式)

第 8 章

弯曲强度

小挠度微分方程及其积分1

= 3 ρ( x ) 2 2 dw 1 + dx d 2w dx2

1 M( x ) = ρ( x ) EI zd 2w dx2

M( x ) = 3 EIz 2 dw 2 1 + dx

小挠度情形下

dw 2 << 1 ( ) dx小挠度微分方程

d w M =± 2 EI dx

2

第 8 章2

弯曲强度

小挠度微分方程及其积分

w

d w > 0, M > 0 2 dx M M

d 2w < 0, M > 0 2 dxM

xM

xd w M = 2 EI dx2

w

本书所采 用的情况

d w M = 2 EI dx

2

使用条件：弹性范围内工作的细长梁。 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。

第 8 章

弯曲强度

小挠度微分方程及其积分

EIw′′( x ) = M ( x )

EI w ′( x ) = ∫ M ( x )dx + C 1l

EIw ( x ) =

∫ ( ∫ M ( x )dxl l

) dx + C 1 x + C 2

利用梁的位移条件确定式中的积分常数， 利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方 和挠度方程 程θ =θ (x) = w‘(x)和挠度方程 w = w (x) ,从而也就可以 和挠度方 这种求转角和 求某个具体横截面处的转角和挠度了。这种求转角和 挠度的方法称为积分法 积分法。 挠度的方法称为积分法

第 8 章

弯曲强度

小挠度微分方程及其积分

二、积分常数的确定 1.边界条件 1.边界条件 梁截面的已知位移条件或位移约束条件 a A C F b B w A = 0

lF

wB = 0

D

E

θD = 0

w

D

= 0

第 8 章

弯曲强度

小挠度微分方程及其积分

2.连续条件 分段处挠曲线所应满足的连续、 2.连续条件 分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条 简称为梁位移的连续条件。 件，简称为梁位移的连续条件。 a A F C b B

l

θC左 = θC右

wC左 = wC右

第 8 章

弯曲强度

小挠度微分方程及其积分

和挠度方 例题 8-1 求图示悬臂梁的转角方程θ =θ (x)和挠度方 程 w=w(x) ,并求最大转角θmax及最大挠度 wmax。 及最大挠度 梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。 梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度 为已知。 为已知A

x

FlB

x

MA FA

w

解：1. 建立坐标系 2. 求支反力 3. 列弯矩方程

FA = F

MA = Fl

M( x ) = F( l x )

第 8 章

弯曲强度

小挠度微分方程及其积分

A

xl

FB

x

w

4. 建立挠曲线近似微分方程并积分 EIw′′( x ) = F ( l x ) 2 x EIw′( x ) = EIθ = F ( lx )+ C 2 2 3 lx x EIw( x ) = F ( ) + Cx + D 2 6 5. 确定积分常数 边界条件 求得： 在x = 0 处 , θ = 0 , 求得：C = 0 , w=0 D= 0