2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性

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1 1.4.3 正切函数的性质与图象

A 级 基础巩固

一、选择题

1.关于函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫ 2x ＋2π3，下列说法正确的是( ) A.是奇函数

B.在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫π12，7π12上单调递增 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π12，0为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π

解析：因为2×(－π12)＋2π3＝π2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0是函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3图象的一个对称中心，故选C.

答案：C

2.函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为( ) A.2π B.π C.π2 D.π4

解析：根据周期公式计算得T ＝πω＝π2

，故选C. 答案：C

3.函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧x ⎪

⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4 B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π4 C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Ｚ D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭

⎬⎫x ≠k π＋3π4，k ∈Ｚ 解析：由x －π4≠k π＋π2(k ∈Ｚ)得x ≠k π＋3π4

，k ∈Ｚ. 答案：D

4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

x －π3在一个周期内的图象是(

)

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2

解析：令y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z，再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝

5π3

.故排除B. 答案：A 5.已知函数y ＝tan( 2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫π12，0则φ可以是( ) A.－π6 B.π6 C.－π12 D.π12

解析：因为图象过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫π12，0， 所以0＝tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2×π12＋φ. 所以tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋φ＝0. 所以φ＝－π6

＋k π(k ∈Ｚ)， 所以φ可以是－π6

，故选A. 答案：A

二、填空题

6.函数y ＝|tan x |的最小正周期是_________.

解析：y ＝|tan x |的图象是y ＝tan x 的图象保留x 轴上方部分，并将下方的部分翻折到x 轴上方得到的，所以其最小正周期也为π.

答案：π

7.－tan 6π5与tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13π5的大小关系是_________. 解析：－tan 6π5＝－tan π5

， tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13π5＝－tan 13π5＝－tan 3π5. 因为0＜π5＜π2＜3π5

＜π，

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3 所以tan π5＞0，tan 3π5

＜0， 所以－tan π5＜－tan 3π5

， 即－tan 6π5＜tan ⎝

⎛⎭⎪⎫－13π5. 答案：－tan 6π5＜tan ⎝

⎛⎭⎪⎫－13π5 8．y ＝tan x 2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；

③以π为最小正周期；

④定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数，因此①②正确；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2

＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z}，所以④不正确．

答案：①②

三、解答题

9．已知函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6－x 4. (1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；

(2)试比较f (π)与f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2的大小． 解：(1)因为f (x )＝3tan ⎝

⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， 所以T ＝πω＝π14

＝4π. 由k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2

(k ∈Z)， 得4k π－4π3＜x ＜4k π＋8π3

(k ∈Z)． 因为y ＝3tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 4－π6

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4 在⎝

⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z)内单调递增， 所以f (x )＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6在⎝

⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3 (k ∈Z)内单调递减．故原函数的最小正周期为4π.单调递减区间为⎝ ⎛⎭

⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z)． (2)f (π)＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π4＝3tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π12＝－3tan π12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－3π8＝3tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－5π24＝－3tan 5π24， 因为0＜π12＜5π24＜π2，且y ＝tan x 在⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， 所以tan π12＜tan 5π24，所以f (π)＞f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2. 10．求函数y ＝12tan ⎝

⎛⎭⎪⎫5x ＋π4的定义域，单调区间及对称中心． 解：由5x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π5＋π20

，k ∈Z ， 函数定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π5＋π20，k ∈Z . 由k π－π2<5x ＋π4<k π＋π2，得k π5－3π20<x <k π5＋π20

，k ∈Z. 函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π5

－3π20，k π5＋π20，k ∈Z ， 由5x ＋π4＝k π2得x ＝k π10－π20，k ∈Z ，函数图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫k π10－π20，0，k ∈Z.

B 级 能力提升

1.若f (n )＝tan n π3(n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝( )

A.－ 3

B. 3

C.0

D.－2 3

解析：由题意可知，T ＝ππ3

＝3， f (1)＝3，f (2)＝－3，f (3)＝0⇒f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，

故f (1)＋f (2)＋……＋f (2 017)＝672×0＋f (1)＝ 3.

答案：B

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5 2．若函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝________． 解析：因为π|3a |＝π2，所以|a |＝23，所以a ＝±23

. 答案：±23

3.设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3和φ(x )＝b tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫kx －π3，k ＞0，若它们的最小正周期之和为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1，求f (x )，φ(x )的解析式.

解：因为f (x )的最小正周期为2πk ，

φ(x )的最小正周期为πk ，

由已知得2πk ＋πk ＝3π2，所以k ＝2.

所以f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，φ(x )＝b tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.

因为⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝φ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1，

所以⎩⎪⎨⎪⎧a sin 4π3＝b tan 2π3，

a sin 5π6＝－3

b tan π6＋1，

所以⎩⎪⎨⎪⎧－3

2a ＝－3b ，1

2a ＝－b ＋1，所以⎩⎪⎨

⎪⎧a ＝1，

b ＝12

所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π

3，φ(x )＝12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x －π3.