第 2 讲(1) 一元线性、非线性回归分析

《路基路面施工》课件

第2讲(1)一元线性回归分析

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一元线性回归方程的建立

y = a + bx y i = a + bxi2

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为了求得回归系数a、 , 为了求得回归系数 、b,提出约束条 回归直线的拟合误差最小， 件：回归直线的拟合误差最小，即要 求函数Q达到最小值 达到最小值。 求函数 达到最小值。n

Q =

∑

i =1

yi yi3

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带有绝对值的问题处理起来不方便，于 带有绝对值的问题处理起来不方便， 是改为下式的形式， 是改为下式的形式，使得下式达到最小 称之为“最小二乘法” 值。称之为“最小二乘法”。

Q =∑ ( y i y i )i =1

n

2

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将上式进一步代入、整理得： 将上式进一步代入、整理得：

Q =

∑ (yi =1

n

i

yi

)

2

=

∑ (yi =1

n

i

a bx i )

2

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根据线性代数的理论，关于、 根据线性代数的理论，关于、的二元函 数必定有最小值， 数必定有最小值，则：

Q = 0 a Q = 0 b6

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于是：

Q = 2∑( yi a bxi ) ( 1) = 0 a i =1 n Q = 2 ( y a bx ) ( x ) = 0 ∑ i i i b i =1 n7

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进一步化简、整理得：

∑ yi na b∑xi = 0 2 ∑xi yi a∑xi b∑xi = 0 8

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解关于、的二元一次方程组即得到 系数 解关于、 a、b:

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相关系数的计算

r = 显著性检验

L L

xy

xx

L

0 ≤ r ≤1yy

r ≥ rα ( n 2)10

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邻接表

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回归分析的用途(1)寻求两个变量间平均意义上的定量关系 )身高与体重关系图 体重( (kg) 100 90 80 70 60 50 40 1.5 1.6 1.7 y = 105.63x - 112.72 R2 = 0.9346 1.8 1.9 2

身高(m)12

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(2)预报 ) 点预报(点估计) ① 点预报(点估计)

y ( x0 ) = a + bx0,或

或

y0 = a + bx013

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② 区间预报

P { y1 < y 0 < y 2

}= 1 α

(1)

y1 = y 0 δ ( x0 ),

y 2 = y 0 + δ ( x0 )

1 ( x0 x ) δ ( x0 ) = t α ( n 2)σ 1 + + n Lxx 2

2

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因此，点估计：

y ( x0 ) = a + bx0 区间估计：

y1 ( x0 ) = a + bx0 δ ( x0 )

y 2 ( x0 ) = a + bx0 + δ ( x0 )

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进似地， 很大( 进似地，当n很大(即 n → ∞ )时，t α 很大α = 0.05 δ ( x0 ) ≈ 1.96σx0 又在 x 的平均值附近，取

= 1.96

2

y1 ( x0 ) ≈ a + bx0 1.96σ, ,

y 2 ( x0 ) ≈ a + bx0 + 1.96σ即所得到的区间以95%的概率包括实际测量值。16