中国石油大学华东期末高数题

第二十届高等数学竞赛试卷

专业年级： 学号： 姓名： 成绩：

说明：

1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页.

中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2006年6月4日

一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

a 1.若x 0时，(1 ax) 1与xsinx是等价无穷小，则解题过程是：

1

124

.

2.x 0

lim(cosx)

ln(1 x2)

.

解题过程是：

1x2

3 0sintdt,x 0,f(x) x

a,　　　　 x 0,在x 0处连续，则a 3. 设函数

解题过程是：

.

设z xysin

4.

解题过程是：

y z z,则x y x x y

.

1

微分方程xy 2y xlnx满足y(1) 的解为：

95.

解题过程是：

a若0 x 1

6.设a 0,f(x) g(x) ,而D表示全平面，

0,其他 则 I f(x)g(y x)dxdy _______

D

.

解题过程是：

7.

2

2

(x2005 cos2x)tan2xdx

.

解题过程是：

1 2 n

sin sin sin

n n nnn 8.

lim

解题过程是：

z

.

设空间区域 由x2 y2 z2 1所界定,计算 edv

9.

解题过程是： 0.设在上半平面

.

D (x,y)|y 0

内，函数

f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t 0都

2f(tx,ty) tf(x,y). 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，则 有

yf(x,y)dx xf(x,y)dy L.

解题过程是：

二、计算题（每小题6分，本题共42分）：

.

1.用变量代换x cost(0 t

)化简微分方程：(1 x2)y xy y 0，并求满足y

解题过程是：

2. 设 是锥面

x 0

1,y

x 0

2的解.

z z 1)

的下侧，计算曲面积分

xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy

..

解题过程是：

3.设函数y ax3 bx2 cx 2在x 1处有极小值0，且在点(0,2)处函数的图形有拐点，试确定常数a,b和c的值.

解题过程是：

4.设函数f(x)在( , )上连续，且对任意的t满足下式：

f(t) 2

求函数f(x).

x2 y2 t2

(x

2

y2)f(x2 y2)dxdy t4

5.求旋转抛物面z x2 y2与平面x y 2z 2之间的最短距离．.

解题过程是：

6.设有一高为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程

2(x2 y2)

z h(t) (设长度为厘米，时间为小时)，

h(t)

已知体积减少的速率与侧面积成正比，（比例系数0.9）,问高为130厘米的雪堆全部融化需要多少时间？

解题过程是：

7.设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,计算函数u

在点P处沿方向n的方向导数和在点P处的梯度.

解题过程是：

三、证明题（本题8分）：

6x2 8y2

z

设函数 (y)有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，

(y)dx 2xydy

24L2x y

(I)证明：对右半平面x 0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 (y)dx 2xydy

2x y

2

4

C

0；

(II)求函数 (y)的表达式.

中国石油大学（华东）

第二十届高等数学竞赛试卷参考答案

一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

a (1 ax) 1x 0xsinx1.若时，与是等价无穷小，则

1

(1 ax) 1~ ax2

2

x 0xsinx~x4.解当时，，.

2

1

4

124

.

1 ax2

(1 ax)1lim lim2 a 1

x 04x于是，根据题设有x 0xsinx，故a=-4.

1

24

1

2.x 0

lim(cosx)

ln(1 x2)

.

1

lim(cosx)ln(1 x

解

x 0

2

)

=

e

x 0ln(1 x2)

lim

1

lncosx

,

12

而

sinx

lncosxlncosx 1lim lim limx 0ln(x 02x21 x2)x 0x2

e

，故原式=

1e

.

1x2

3 0sintdt,x 0f(x) x

a,　　　　 x 0在x 0处连续，则a 3. 设函数

limf(x) f(0) af(x)x 0解由题设知，函数在处连续，则x 0，

.

limf(x) lim

又因为

x 0

x 0

x

sint2dtx3

sinx211

lim a x 03x23. 3. 所以

4.

y

设z xyf ,函数f(u)可导,则xz x yz y

x

.

zy y y

解: yf xyf 2

x x x x

z y y 1 y

xf xyf xf yf y x x x x

y2 y y

yf f ,

x x x

y , x

y y xz yz 2xyf 0 2xysin 0 2z. xy

x x

1

微分方程xy 2y xlnx满足y(1) 的解为：

95.

.

解：原方程等价为：y y

2

dxex[

2

y lnx，于是通解为：x

1

[ x2lnxdx C]

lnx e

1

由y(1) ，

9

111xlnx x C39x2x2

11

得C 0，故所求通解为：y xlnx x..

39

dx C]

xdx

2

a若0 x 1

6.设a 0,f(x) g(x) ,而D表示全平面，

0,其他则 I f(x)g(y x)dxdy _______.

D

解：本题积分区域为全平面，但只有当

0 x 1,0 y x 1

时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

a若0 y x 1;

g(y x)

0,其他,

20 x 1,a

f(x)g(y x) x y 1 x,

0,其他

I

a若x y 1 x;

g(y x)

0,其他,

D

f(x)g(y x)dxdy

2

0dxdy a dx

01

x 1x

D1

2

adxdy

1

dy

D2

a2 [(x 1) x]dx a2.

7.

2 2

(x2005 cos2x)tan2xdx

.

2005222005222

解： 2 (x cosx)tanxdx 2 xtanxdxdx 2 cosxtanxdx

2

2

2

1 0 2 2sin2xdx 2 .

0222

1 2 n

sin sin sin

n n nnn 8.lim

解：lim

1 2 (n 1)

sin sin sin

n n nnn

n

.

n

i 1

lim sin lim f( i) xi n i 1nnn i 1

0sin xdx

1

看作f(x) sin x ,把区间[0，1]分为n等份，分点为12in1i0 , 取 xi , i

nnnnnn 原式

0`

1

sin xdx

cos x11

cos cos0 2.

0

z

设空间区域 由x2 y2 z2 1所界定,计算 edv

9.

.

解： 被积函数仅为z的函数，截面Dz为圆域x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．

e

z

dv 2 ezdv 2 ezdz dxdy 2 (1 z2)ezdz 2 .

上

Dz

11

10.设在上半平面

D (x,y)|y 0

内，函数

f(x,y)具有连续偏导数，

且对任意的t 0都

2

f(tx,ty) tf(x,y). 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，则 有

yf(x,y)dx xf(x,y)dy L.

解f(tx,ty) t

2

.

f(x,y)两边对t求导得

令

xfx (tx,ty) yfy (tx,ty) 2t 3f(x,y)

则

.

,.

即

t 1

，

xfx (x,y) yfy (x,y) 2f(x,y)

11

f(x,y) xfx (x,y) yfy (x,y)

22 ①

设

P(x,y) yf(x,y),Q(x,y) xf(x,y)，则

Q P

f(x,y) xfx (x,y), f(x,y) yfy (x,y)

y x. Q P

x y 则由①可得

1 1 yf(x,y) xf(x,y)yx

2 2 .

故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

Lyf(x,y)dx xf(x,y)dy 0.

二、计算题（每小题6分，本题共42分）：

1.用变量代换x cost(0 t )化简微分方程：(1 x2)y xy y 0，并求满足y

解：y

dydt1dy

，dtdxsintdt

x 0

1,y

x 0

2的解.

dy dtcostdy1d2y1

y [2 ] ( ),

dtdxsintdtsintdt2sint代入原方程得

d2ydt

2

y 0，

解此微分方程，得把初始条件y

x 0

y C1cost C2sint C1x C21 x2

x 0

1,y

2代入，有C1 2,C2 1。

故满足初始条件的特解

为：y 2x 1 x2.

z z 1) 2. 设是锥面的下侧，计算曲面积分

xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy

..

解设

1：z 1(x2 y2 1)，取上侧，则

1

xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy

1

xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy

.

2

1

1

而

1

xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy

＝

6dv 6 d rdr dz 2

V

r

，

xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy 0

1

.

所以

xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy 2

.

3.设函数y ax3 bx2 cx 2在x 1处有极小值0，且在点(0,2)处函数的图形有拐点，试确定常数a,b和c的值.

解：f(x) ax3 bx2 cx 2,f(x)在( , )二阶可导，

f (x) 3ax2 2bx c,f (x) 6ax 2b,

根据题意，f (1) 3a 2b c,f (0) 2b 0,f(1) a b c 2 0，于是得a 1,b 0,c 3.

4.设函数f(x)在( , )上连续，且对任意的t满足下式：

f(t) 2

x2 y2 t2

22224(x y)f(x y)dxdy t

求函数f(x).

x rcos

解：令 ,

y rsin

f(t) 2

2

d r2f(r)rdr t4 4 f(r)r3dr t4,

tt

两边对t求导：f (t) 4 f(t)t3 4t3 4t3 f(t) 1 ,

f (t)f (t)1即 4t3 dt 4t3dt， lnf(t) t4 C. f(t) 1 f(t) 1

1 t41 x4

由f(0) 0,知C＝0， f(t) (e 1)，即f(x) (e 1)

5.求旋转抛物面z x2 y2与平面x y 2z 2之间的最短距离．.

解：设P(x,y,z)为抛物面z x2 y2上任一点,

1

则P到平面x y 2z 2 0的距离为d,d x y 2z 26

令F(x,y,z)

1

(x y 2z 2)2 (z x2 y2),6

(1)(2)(3)(4)

1

F (x y 2z 2) 2 x 0,x 3

F 1(x y 2z 2) 2 y 0, y

3 1

Fz (x y 2z 2)( 2) z 0,

3

22 z x y,

解此方程组得x

111

,y ,z .，即得唯一驻点448

111

(,,),448

111

根据题意距离的最小值一定存在，且有唯一驻点，故必在(,,)

448

11117

处取得最小值．dmin 2 ..

4444

2(x2 y2)

6.设有一高为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z h(t) (设长度为厘米，

h(t)时间为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比，（比例系数0.9）,问高为130厘米的雪堆全部融化需要多少时间？

解：设V为雪堆的体积，S为雪堆的侧面积，则

h(t)

h(t)

1

x2 y2 h2(t) h(t)z]

2

V

dz

dxdy

2

[h2(t) h(t)z]dz

4

h3(t).

dV3 2dh

h(t)dt4dt

S

2

h2(t)

x y

2

2

1

2zx

z2ydxdy

2

h2(t)

x y

2

2

1

16(x2 y2)

h(t)

2

dxdy

1

h(t)

0

2

d

h(t)

2[h2(t)0

1

16r2]2

rdr

13 2

h(t).12

dVdV3 2dh3 2dh13 2

0.9S, h(t)， h(t) 0.9h(t)

dtdt4dt4dt12

dh131313 ， h(t) t C, h(0) 0, h(t) t 130,dt101010

令h 0,得t 100小时。

7.设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,计算函数u

6x2 8y2

在点P处沿方向n的方向导数和在点P处的梯度.

z

,Fy ,Fz ,} {4x,6y,2z} 2{2x,3y,z}|P {2,3,1},解:n {Fxcos u

x u z

22 3 1

P

2

2

2

P

,cos 63 u y

,cos 1z

18y

,

8112xz26x2 8y2

6x2 8y2

z6p

2

P

,

P

6x 8y

22P

,

P

,8 3

1 11.7

u l

2

6 8 i j k.

三、证明题（本题8分）：

设函数 (y)有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上， (y)dx 2xydy

24L2x y

(I)证明：对右半平面x 0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 (y)dx 2xydy2x y

2

4

C

0；

(II)求函数 (y)的表达式.

解（I）

l1

l2 C o X l3

如图，将C分解为：

C l1 l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则

(y)dx 2xydy

2x y

2

4

C

(y)dx 2xydy

2x y

2

4

l1 l3

(y)dx 2xydy

2x y

2

4

l2 l3

0

.

P

（II）设

(y)

2x2 y

,Q 4

2xy

2x2 y4，P,Q在单连通区域x 0内具有一阶连续偏导数， Q P

x y. x 0在该区域内与路径无关，故当时，总有

由（Ⅰ）知，

曲线积分

(y)dx 2xydy

2x2 y4

L

Q2y(2x2 y4) 4x 2xy 4x2y 2y5

,242242 x(2x y)(2x y)①

P (y)(2x2 y4) 4 (y)y32x2 (y) (y)y4 4 (y)y3

. y(2x2 y4)2(2x2 y4)2

②

比较①、②两式的右端，得

(y) 2y, 435

　 (y)y 4 (y)y 2y.

③ ④

2535 (y) (y) y c2y 4cy 2y, 由③得，将代入④得 2

(y) y. c 0所以，从而

中国石油大学（华东）

第二十一届高等数学竞赛试卷

专业年级： 学号：

姓名： 成绩：

说明：

1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页.

中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2007年6月10日

一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

x 01.若时，

ln

1 x与x 是等价无穷小，则

1 x

.

解题过程是：

2.x 0

lim

arctanx sinx

x

3

.

y

3.曲线

1

ln(1 ex)x，渐近线的条数为：.

则x

z z

y x y

y

设z xytan,

x4. 5.

微

.

分方程

yy y 2 0

满足初始条件yx 0 1,

1

y x 0 的特解是:

2

6.

若平面区域D为:0 x

2

,0 y

2

，则二重积分 cos(x y)dxdy的值为：

D

7.

0

(3cosx 3 cosx)dx

.

解题过程是： 8.

设函数

f(x)

的一个原函数是

2

x2

，则

xf (x)dx

解题过程是：

设空间区域 由z x2 y2与z x2 y2所围成,计算 (x z)dV

9.

解题过程是：

22为x y ax的下半圆周自A( a,0)到O(0,0)一段(a 0)， AnO0. 设曲线

= .

计算

exsiny 3y dx excosy 3 dy AnO .

解题过程是：

二、计算题（每小题6分，本题共42分）：

1.在xoy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0),其上点P(x,y)(x 0)的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(a 0),(1)求L的方程；

8

(2)当直线L与y ax时，确定a的值.

3

解题过程是：

22

2.设曲面Σ是z 1 x y(z 0)的上侧.，计算曲面积分

I 2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy.

解题过程是：

3.求椭球面2x2 3y2 z2 9的平行于平面2x 3y 2z 1 0的切平面方程.

解题过程是：

4.设函数f(x)在(0, )上连续，且对任意的t(t 0)满足下式：

f(t) 1 [z2 f(

1

x2 y2]dV2

其中 由不等式0 z h,x2 y2 4t2确定，求f(t).

5.求函数f(x,y) x2 2y2 x2y2在区域D (x,y)x2 y2 4,y 0上的最大值和最小值.

解题过程是：

6. 设曲面

:x y z 1

，计算曲面积分

(x y)dS

.

解题过程是：

42 242 7.确定常数 使在右半平面x 0上的向量A(x,y) 2xy(x y)i x(x y)j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).

解题过程是：

三、证明题（本题8分）：

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a) g(a),f(b) g(b),证明：存在 (a,b)，使得f ( ) g ( ).

中国石油大学（华东）

第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

1.若x 0时，解题过程是： x 0若时，

ln

1 x与x 是等价无穷小，则a

1 x

.

ln

1 x

1 x与x 是等价无穷小，

ln

1 x1 x

ln(1 x) ln1 x x o(x) x o(x) x o(x)

，

则x 0，x o(x)~x,故

12.

2.x 0解题过程是：

lim

arctanx sinx

x

3

.

x3x33[x o(x)] [x o(x3)]

arctanx sinx1lim lim

6. x 0x 0x3x3

y

3.曲线

1

ln(1 ex)x，渐近线的条数为：解题过程是：

y

曲线斜渐近线

1

ln(1 ex)

y 0(x )，x渐近线有3条：垂直渐近线x 0，水平渐近线 y x(x ).

4.

y

设z xyf ,函数f(u)可导,则xz x yz y

x

.

zy y y y2 y y 解: yf xyf yf f , xx x x x2 x x

z y y 1 y y

xf xyf xf yf , y x x x x x y y xz 0 2xytan 0 2z.x yz y 2xyf

x x

5.

微

分

方

程

yy y 2 0

满足初始条件yx 0 1,

1

y x 0 的特解是:

2解题过程是：

dPdP

,代入yP P2 0,dydy

dPdPdydPdy

P 0时，y P， , ,lnP lny lnC1，

dyPyPy1dy1111

P , , y x 0 , , C1 2.

C1ydxC1y22C1解：y f(y,y )型，令P y ,y P

dy1 , 2ydy dx, y2 x C2,dx2y

yx 0 1, 1 C2,通解:y2 x 1,或y x 1.

6.

若平面区域D为:0 x

解题过程是：

2

,0 y

2

，则二重积分 cos(x y)dxdy的值为：

D

解：用直线x y I

2

把区域D分为D1、D2两个区域.

D2

D1

cos(x y)dxdy cos(x y)dxdy

0 x

0

0

2dx 2

0

cos(x y)dy 2dx 2

2

cos(x y)dy

x

0

2(1 sinx)dx 2(cosx 1)dx 2.

7.

0

(3cosx 3 cosx)dx

.

解题过程是：

x

解：令

2

t

sint sint3 3，是奇函数，得

0

(3cosx 3 cosx)dx

=

8.

2(3

sint

3

sint

)( dt) 2 (3sint 3 sint)dt 0.

2

x2

2

设函数

f(x)

的一个原函数是

2

，则

xf (x)dx

解题过程是：

xf (x)dx= xdf(x) xf(x) f(x) 2x22x2ln2 2x2

设空间区域 由z

9.

解题过程是：

C.

x2 y2与z x2 y2所围成,计算 (x z)dV

=

关于yoz面为对称，f(x,y,z) x为x的奇函数，有

2

xdv 0.利用球面坐标系

(x z)dv zdv

d 4d rcos r2sin dr

1

8

.

22为x y ax的下半圆周自A(-a,0)到O(0,0)一段.(a 0)， AnO10. 设曲线

.计算

exsiny 3y dx excosy 3 dy AnOAnO

解题过程是：

解：补上线段OA，组成闭曲线,

AnOA

Q P xx

dxdy ecosy ecosy 3dxdy 3 dxdy x y OA D DD

2

1 a 3 a2

3 ,

2 2 8

a3 a23 a2x

e 0 dx e 3 0 AnOAnOAOA088.

二、计算题（每小题6分，本题共42分）：

1.在xoy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0),其上点P(x,y)(x 0)的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax,(a 0)(1)求L的方程；

8

(2)当直线L与y ax时，确定a的值.

3

解题过程是：

解：(1)设曲线L的方程为y f(x),由题设得，

y

y ax,

x

这是一阶线性微分方程.,由通解公式，

y

1

xdx e

1 dx axexdx C

x(ax C) ax2 Cx

又

f(1) 0, C a,

2

y ax ax(x 0). 故曲线L的方程为：

(2)L与直线y ax(a 0)围成的平面图形面积

D

2

ax ax2 ax dx a2 2x x2 dx 4a 8 0

33

故a 2.