初中数学北师大课标版八年级下第四章 相似图形4.4相似多边形2

§4.4 相似多边形

学习目标：

1.使学生理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义． 2.经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．

3.通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性． 学习重点难点：

1、探索相似多边形的定义的过程 2、找出相似三角形的对应边和对应角。 学习过程：

一、 创设问题情境，引入新课

“相似”就是差不多，但也不是完全相同，既有相同部分也有不同部分．那“相似多边形”应怎么理解呢？

“相似多边形”即为两个边数相同的多边形，并且形状一样、大小可能不同． 本节课我们将进行探索 “两个相似多边形”需满足什么条件呢？ 二、新课讲解

1．探究相似多边形的定义

下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？

(1)在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测． (2)在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？ 请大家动手验证一下．

在上图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形，其中

∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等，

AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1A1的比都相等． 由上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例．那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六边形才有呢？下面我们继续进行探讨．

例题：下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？ (1)正三角形ABC与正三角形DEF； (2)正方形ABCD与正方形EFGH． 请大家互相交流．

解：(1)由于正三角形每个角都等于60°，所以∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝ 60°，∠C＝∠F＝60°． 由于正三角形三边相等，所以

AB

DE BCCA

EF

FD．

(2)由于正方形的每个角都是直角，所以 ∠A＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝90°， ∠C＝∠G＝90°，∠D＝∠H＝90°． 由于正方形四边相等，所以

AB

EF BCCDDA

FG GH

HE．

从上面的讨论结果来看，大家能否猜测出相似多边形的定义呢？

对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形(similar polygons)． 相似多边形对应边的比叫做相似比(similarity ratio)．

相似应该怎样表示呢？请认真看书．

六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，其中AB∶A1B1等于相似比． 在记两个多边形相似时，要注意什么？

要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．

2．想一想

如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？ 若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例． 3．议一议

1．观察下面两组图形，(1)中的两个图形相似吗？为什么？(2)中的两个图形呢？

2．如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？各边可能对应成比例吗？ 1．(1)中的两个图形不相似．

因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例．虽然(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等，所以两个图形不相似． (2)中的两个图形也不相似．

因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似．

2．如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如(2)中的两个图形； 如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等． 4．做一做

一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm．边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？请大家交流后回答．

答：不相似．内边缘的矩形长为300 cm，宽为150 cm，外边缘的矩形长为315 cm，宽为165 cm，300150

因为315≠165，所以内外边缘所成的矩形不相似．

5．想一想(2)

所有的边数相同的正多边形都相似吗？

正多边形是指各边都相等、各角都相等的多边形，请大家根据定义进行判断．

因为各角都相等，各边都相等，所以在两个图形中满足对应角相等、对应边成比例，因此这两个正多边形肯定相似．比如：两个正三角形相似． 三、课堂练习

判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由． (1)两个大小不等的矩形；

(2)两个大小不等的正五边形； (3)一个正方形与一个平行四边形； (4)两个大小不等的菱形．

解：(1)两个大小不等的矩形不一定相似，虽然它们的对应角相等，且都是直角，但它们的对应边不一定成比例．

(2)两个大小不等的正五边形是相似多边形，因为它们的对应角相等，对应边成比例． (3)一个正方形与一个平行四边形不相似．因为平行四边形的四个角不相等，四条边也

不相等，所以对应角不相等，对应边也不成比例．

(4)两个大小不等的菱形不一定相似．因为菱形的边长相等，两个菱形满足对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似． 四．课时小结

本节课通过探究相似多边形满足的条件，从而推导出相似多边形的定义，并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形．