信号分析_第5章 小波变换

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第7章 小波分析 章主要内容连续小波变换的基本概念 小波变换的性质 小波分类和常见的小波 离散小波变换1

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1. 连续小波变换的时域定义 连续小波变换的时域定义

1 Ws (a, b) = a

∫

+∞

∞

t b s(t )ψ dt a ** a ,b

Ws (a, b) = ∫ s(t )ψ ∞

+∞

(t )dt

= s(t ),ψ a ,b (t )where 1 t b ψ , 核函数 a ,b (t ) = ψ a ,b (t ) = 是窗函数 a a ψ (t ) 的时间平移 和尺度伸缩 a 的结果 的时间平移b和尺度伸缩 窗函数ψ (t ) 称为母小波 称为母小波 母小波. 1 t b , a > 0, b ∈ R ψ a ,b (t ) = ψ a a

小波函数序列2

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2. 小波变换的频域定义 小波变换的频域定义

ψ (t ) ψ (ω ) s(t ) S (ω ) 1 t b a ,b (ω ) = aψ (aω )e jωb ψ a ,b (t ) = ψ ψ a a Ws (a, b) = 2π ∫ a+∞ ∞

S (ω )ψ (aω )e*

jωb

1 dω = S (ω ),ψ a ,b (ω ) 2π

作业7-1 (1)证明 因子 1 / a 的作用是保证不同的尺度下， 证明: 的作用是保证不同的尺度下， 证明ψ a ,b (t ) 与母小波的能量相同，即具有保范性。 函数 与母小波的能量相同，即具有保范性。 (2)证明下面公式 证明下面公式 1 t b ψ a ,b (t ) = ψ ψ a ,b (ω ) = aψ (aω )e jωb a a a +∞ 1 * jωb Ws (a, b) = ∫ ∞ S (ω )ψ (aω )e dω = 2π S (ω ),ψ a,b3(ω ) 2π

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解释小波变换可以理解为用一组分析宽度不断变化的基 函数对信号s(t)进行分析 进行分析， 函数对信号 进行分析，这一变化正好适应了对信 号分析时在不同的频率范围需要不同的分辨率这一基 本要求 参数b的作用是确定对分析信号 的时间位置 参数 的作用是确定对分析信号s(t)的时间位置，即 的作用是确定对分析信号 的时间位置， 时间中心。 时间中心。 参数a 的作用是把基本小波进行伸缩。 参数 的作用是把基本小波进行伸缩。 的作用是保证不同的尺度下， 其中的因子 1 / a 的作用是保证不同的尺度下，函数 ψ a ,b (t ) 与母小波的能量相同4

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3 尺度因子

1) a 对小波函数的时域影响

t

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2) a 对分析小波的频域影响 ψ ( aω ) ψ ( aω ) ψ ( aω )

ψ 1/ 2,b (t )

ω 2ω0ω0 ω0 / 2

2 ω

ψ 1,b (t )ψ 2,b (t )

ω ω / 2 t6

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尺度因子在小波变换中物理解释 (1)当用较小的 对信号作高频分析时，实际上是用高频 当用较小的a对信号作高频分析时 当用较小的 对信号作高频分析时， 小波对信号作细致观察； 小波对信号作细致观察； (2)当用较大的 对信号作低频分析时，实际上是用低频 当用较大的a对信号作低频分析时 当用较大的 对信号作低频分析时， 小波对信号作概貌观察； 小波对信号作概貌观察；7

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说明： 说明：信号s(t)的小波变换 的函数。 信号 的小波变换 Ws ( a, b)是a和b的函数。 和 的函数 母小波可以是实函数，也可以是复函数。 母小波可以是实函数，也可以是复函数。

ψ a ,b (t )在时域是有限支撑的，则和 作内积后，将 在时域是有限支撑 有限支撑的 则和s(t)作内积后 作内积后，在时域也是有限支撑 有限支撑的 保证小波变换 Ws (a, b) 在时域也是有限支撑的，从 而实现所希望的时域定位功能。 所反映的， 而实现所希望的时域定位功能。 s (a, b)所反映的， W 是在b附近的性质 是在 附近的性质 具有带通特性，即在频域， 带通特性 若ψ a ,b (ω )具有带通特性，即在频域，围绕着中心频率 是有限支撑的， 是有限支撑的，则 S (ω ) 和 ψ a ,b (ω ) 的内积，也将反映 的内积，

S (ω ) 在窗口中心频率处的局部性质，从而实现所 在窗口中心频率处的局部性质，

期望的频率定位功能。 期望的频率定位功能。8

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4. 小波 基本小波、母小波 小波(基本小波 母小波) 基本小波、

如果ψ (t ) ∈ L ( R ), 且满足约束条件 ∫ ψ (t )dt = 02 ∞

∞

为连续小波，或母小波。 则称为 ψ (t ) 为连续小波，或母小波。 约束条件的物理意义： 约束条件的物理意义： 是必要条件而不是充分条件。 是必要条件而不是充分条件。 约束条件再加上能量集中特性 时域紧支撑特性), 特性(时域紧支撑特性 约束条件再加上能量集中特性 时域紧支撑特性 ， 从而严格地将的波形约束为“一小段波” 从而严格地将的波形约束为“一小段波” 。

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容许条件： 容许条件： if

ψ (t ) ψ (ω )

then :

∫

∞

0

ψ (ω ) dω < ∞ ω2

容许条件的含义：比上面的约束条件严格， 容许条件的含义：比上面的约束条件严格， 严格地将的波形约束为“一小段波” 严格地将的波形约束为“一小段波”

母小波的特点： 母小波的特点：(1) 小波具有波动性， ∫ ∞ψ (t )dt = 0 , 表明是波动的 小波具有波动性， (2) 小波具有时、频域紧支撑，包络衰减快 小波具有时、频域紧支撑，包络衰减快; (3)小波具有带通滤波器特性 ψ (t ) 可理解为一个 小波具有带通滤波器特性, 小波具有带通滤波器特性 带通滤波器的冲激响应 Q ψ (0) = 0, 又是紧支撑的 (4)小波ψ (t ) 和一般的窗函数一样，满足 和一般的窗函数一样， 小波∞

∫

∞

∞

| ψ (t ) | dt < ∞

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5. 小波基 1) 定义

1 t b ψ a ,b ( t ) = ψ a > 0, b ∈ R a a

ψ (t ) 经伸缩、平移构成小波基函数。即： 经伸缩、平移构成小波基函数。

{ψ a ,b (t )}为小波基 a ↑, ψ a ,,b (t )时宽 ↑ ψ a ,b (ω )频宽 ↓ b2) 窗口中心 * 时窗中心 t =

t0 为 a = 1 , b = 0 之时窗中心1 频窗中心 ω = ||ψ a,b (ω ) ||2*

1 ||ψ a,b (t ) ||2

∫

∞

∞

t |ψ a,b (t ) |2 dt = at0 + b

∫

∞

∞

ω |ψ a,b (ω ) | dω =2

ω0a11

ω0 为 a = 1 , b = 0 之频窗中心

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3) 窗口宽度 时窗宽度 t a,b

1/ 2 ∞ 1 (t * t ) 2 | ψ (t ) |2 dt = a t = a,b ∫ ∞ || ψ a,b (t ) ||

t 为 a = 1 , b = 0 之时窗宽度频窗宽度 ωa,b

1/ 2 ∞ 1 (ω * ω ) 2 |ψ (ω ) |2 dω = ω a,b = ∫ ∞ || ψ a,b (ω ) || a

ω 为 a = 1 , b = 0 之频窗宽度4) 窗口面积

ta,b ωa,b

ω = a t = t ω a12

无关， 窗口面积与 a,b无关，只由小波母函数决定 ， 无关

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ω 2ω0

2 ω ω ω / 2 t

ω0ω0 / 2

时窗中心t * = at0 + b

频窗中心ω* = ω0a

时窗宽度 t a,b = a t

频窗宽度 ωa,b = ω a13

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(5) . 窗口特性 i) 时窗和频窗中心分别随 和1/a成正比例变化； 时窗和频窗中心分别随a和 成正比例变化 中心分别随 成正比例变化； ii) 时窗宽度和频窗宽度分别随 和1/a发生变化； 时窗宽度和频窗宽度分别随a和 发生变化 发生变化； 宽度和频窗宽度分别随

ⅲ) 窗口面积不变； 窗口面积不变； ) iv) ψ a ,b (ω是具有恒品质因数带通滤波器频域传递函数； 是具有恒品质因数带通滤波器频域传递函数； 是具有恒品质因数带通滤波器的冲激响应 ψ a ,b (t ) ωa ,b ω 带宽 Q= = = = constant * 中心频率 ω ω0v) 时、频窗口具有自适应变化特性。 频窗口具有自适应变化特性。

ω低*

ωa,b窄 ω *高 t 窄 ωa,b宽 t a,b 宽a,b

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6. 小波变换与短时 小波变换与短时Fourier变换的比较 变换的比较f

(a)

(b)

t

短时Fourier变换的基函数和时频网格 变换的基函数和时频网格 短时

f

(a)

(b)

t

小波变换的基函数和时频网格15

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H( f )f0 2 f0 4 f0 8 f0

(a)短时 短时Fourier变换等效滤波器带宽 短时 变换等效滤波器带宽H( f )

f0

2 f0

4 f0

8 f0

(b) 小波变换等效滤波器带宽

频域等分辨是短时Fourier变换所固有的特性 频域等分辨是短时 等分辨是短时 变换所固有的特性 频域多分辨是小波变换的一种固有特性 频域多分辨是小波变换的一种固有特性 多分辨16