2013高等数学竞赛习题西南习题2、3

习题（三）

练习3—1 1、填空题

e2x,x 0f(x) /

ln(1 2x) cosx,x 0，则f(0) （1）设

（2）曲线y x上(1,1)点处的切线方程为

（3）设质点作直线运动，其速度v和时间t的关系为v v(t)，则在时刻t的

瞬时加速度为

（4）设化学反应中物质的浓度N和时间t的关系为N N(t)，则在时刻t该物质的瞬时反应速度为

3

y x x 2上某点处的切线方程为y kx，则常数k （5）设曲线

2、选择题

23

x,x 1f(x) 3

2 x,x 1在x 1处 （ ） （1）函数

(A) 左导数存在，右导数存在 B 左导数存在，右导数不存在

(C) 左导数不存在，右导数不存在 D 左导数不存在，右导数存在 （2）曲线y lnx上点（1，0）处的切线与x轴的交角为 （ ） (A) π/2 B π/3 (C)π/4 D π/6

f(1) f(1 x)lim 1

f(x)( , )x 02x（3）设周期为4的函数在内可导，，则

曲线y f(x)在点(5,f(5))处的切线的斜率为 （ ）

1

(A) 2 B 0 (C) 1 D 2 （4）若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处 （ ） (A)必可导 B 连续但不一定可导 (C)一定不可导 D 不连续

eax,x 0f(x)

sin3x b,x 0 在x 0处可导，（5）若 则常数a,b的值应为（ ）

(A) a 1， b 1 B a 3 ，b 1 (C) a 1 ，b 1 D a 2，b 1

/

（6）设 f(x)满足f(x 1) af(x)，且f(0) b，其中a,b为非零常数， /

则f(1)= （ ）

(A) a B b (C) ab D 0

1

xarctan,x 0f(x) x

0,x 0 在点x 0处的连续性与可导性。 3、讨论

练习3—2

1、求下列函数的微分

472y 123254y x 3x 4x 5xxx（1） （2）

3xx

（3）y 5x 2 3e （4）y 2tanx secx 1 （5）y lnx 2lgx 3log2x （6）y sinxcosx

2、求下列函数的导数

2x

y xlnxy 3ecosx （1） （2）

sinx

x （3）y (2 3x)(4 7x) （4）

1 sinty 2

1 cost （5）y xlnxcosx （6）

y

xy/

3、设f(x)对任意实数x，y满足f(x y) ef(y) ef(x)，且f(0) e， 证明 f(x)处处可微。

练习3—3 1、填空题

（1）设f(x)在点x0处可导，则h 0

lim

f(x0 3h) f(x0 2h)

h /

（2）设 (x)是单调连续函数f(x)的反函数，且f(2) 4，f(2) 5，/

则 (4)

1

/

x，则y （3）设

1

f(t) limt(1 )2tx/

x x，则f(t) （4）设

y e

tan

1x

sin

cosx

y (sinx)（5）设；则dy

x 1

sin(xy) ln 1/

y y(x)y（6）设由确定，则y(0)

2

x arcsintdy

2y ty y(x)（7）设函数由参数方程 所确定，则dx

x etsin2t

ty ecost在点(0,1)处的法线方程为 。 （8）曲线

x 3t2 2tdy y

（9）设函数y y(x)由参数方程 y esint 1所确定，则dx

2/

f(x) sin2xf（10）设，则(2x) 。

t 0

h(x)

（11）设f(x) log (x)，

3x 2dyy f()/2x 0 f(x) arcsinx3x 2，（12）已知，则dx

2、选择题

x f(t) 1 3t

y y(x)（1）若函数由参数方程 y f(e 1)确定，其中f(t)为可导函数，

(0) /(0) 2,h/(0)

1

/

2，则f(0)

dy

t 0

且f(0) 0，则dx （ ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

/

sin2xcos2xy /

1 cotx1 tanx，则y （ ） （2）设

(A) cosx (B) cosx (C) co2sx (D) co2sx

x/

y xy（3）设，则 （ ）

x

(A) xxxx(lnx 1)lnx xx 1 (B) xxxx(lnx 1)lnx xx 1 xx

(C) xxxx(lnx 2)lnx xx 1 (D) xxxx(lnx 1)lnx xx

23

（4）设曲线y x ax b与2y xy 1都经过点(1, 1)，且在点(1, 1)处有公共切线，其中a,b是常数，则 （ ）

x

x

(A) a 0 ，b 2 (B) a 1 ，b 3 (C) a 3，b 1 (D) a 1，b 1

dy

（5）设y f(e)，f(x) lnx，则dx （ ） (A) 3xe3x (B) 9xe3x (C) 3x (D) 9e3x

1 2

xsin,x 0f(x) x

3/ x,x 0f 3、设，讨论(x)的连续性。

4、求下列函数的导数

3x

/

x2a22y x a ln(x x2 a2)

22（1）

2

（2）y f(tanx) f(sinx)，其中f(x)为可导函数。 练习3—4 1、填空题

(5)2

（1）设f(x) xsinx，则f(0)

(n 1)

(x) （2）设f(x) x(x 1)(x 2) (x n)，其中n为正整数，则f

(n)

（3）设f(x) xlnx，则当n为大于1的正整数时，f(x)

x99

f(x) (99)

f(x) 1 x（4）设，则

2、选择题

/

（1）设函数f(x) xx，则f(x)在点x 0处 （ ） (A) 不连续，不可导 (B) 不连续，可导

(C) 连续，不可导 (D) 连续，可导

///

ff(x) 0f( x) f(x)( x )( ,0)（2）设，，又在内，(x) 0，

则在(0, )内有 （ ）

(A)f/(x) 0，f//(x) 0 B f/(x) 0，f//(x) 0 (C)f/(x) 0，f//(x) 0 D f/(x) 0，f//(x) 0

/

（3）已知函数f(x)具有任意阶导数，且f(x) f(x) ，则当n为大于2

(n)

的正整数时，f(x)的n阶导数f(x)是 （ ）

2

n! f(x) (B) n f(x) 3、求下列函数的n阶导数

2x 2y 2

x 2x 3 （1）

n 1

n 1

(C) f(x) (D) n! f(x)

2n

2n

2

（2） y sinx

2(80)

4、设y xsinx，求y。

x arccottd2y 2

2y ln ty y(x) 5、设函数由确定，求dx。

参考答案

练习3—1 1、（1）f （4）

/

(0) 2，f

/

(0) 2 （2）

y

1dv(x 1)a(t) 2dt （3）

v(t)

dN

dt （5）k 4

2 、(1) B (2) (C) (3) D (4) B (5) B (6) (C)

limf(x) 0limf(x) f(0)3、x 0，即x 0，从而f(x)在x 0处连续。又因为

f/ (0) f/ (0)

2，2，所以f(x)在x 0处不可导。 练习3—2

20282

dy ( 5 2)dx26dy (3x 6x 4)dxxxx 1、（1） （2）

2xx

（3）dy (15x 2ln2 3e)dx （4）dy secx(2secx tanx) dx （5）

x3e(cosx sinx) x(2lnx 1)2、（1） （2）

xcosx sinx

x2（3） 2(21x 1) （4）

dy

123

(1 )dxxln10ln2 （6）dy cos2xdx

1 sint cost

22

（5）2xlnxcosx xcosx xlnxsinx （6）(1 cost)

00

3、f(0) f(0 0) ef(0) ef(0)，f(0) 0，

exf(h) ehf(x) f(x)f(x h) f(x)

limf(x) lim

h 0h 0hh

h

f(h) f(0)e 1

exlim f(x)lim

f(x) ex 1。 h 0h 0hh

练习3—3

1

1tan1111x e(tan sec cos)//25f(x)y 50 （2）xxx x1、（1） （3）

/

/2t

（4）f(t) (1 2t)e

（5）dy

(sinx)

cos2x

cos3x sin(2x)ln(sinx) dx

sinx

e

（6） e(1 e) （7） t （8）y 2x 1 （9）2

33

（10） 2sin8x （11） 4ln2 （12）2 2、（1）(D) （2）(D) （3） (B) （4） (D) （5） (B)

3、当x 0时，

f/(x) 2xsin

/

11

cos/2xx；当x 0时，f(x) 3x。又

11

2xsin cos,x 0

f(x) xx

3// ,x 0。易知f/(x)的间断点f (0) 0，f (0) 0，即 3x

只有x 0。由于x 0 0

limf/(x)

/

fx 0不存在，所以是(x)的第二类间断点。

/22/2//2

4、（1）y x a（2）y secx f(tanx) sin2x f(sinx) 练习3—4

99!n(n 2)!( 1) n 1100(1 x)(n 1)! 20x1、（1） （2） （3） （4）

2、（1）(C) （2） (C) （3） (A)

y(n) (

3、（1）

11(n)11

) ( 1)nn! n 1n 1 x 3x 1(x 3)(x 1)

1 cos2x(n)

y(n) () (sin2x)(n 1) 2n 1sin 2x (n 1)

22 （2）

(80)2

y xsinx 160xcosx 6320sinx 4、

d2ydy2

1 t t2

5、dt，dx

习题(二)

练习2—1 1、填空题

（1）函数f x lnx的定义域为 。

2

（2）设f x 是以2为周期的周期函数，且为偶函数，在 0,1 上f(x) x 2x，

5f( )

2 则

1

f x

0（3）设

x 1

x 1，则f f x

2

x 4x fx 2 e x，则f x 2 （4） 设

2、选择题

2x,0 x 1f x 2

x,1 x 2，g x lnx， （1）设则下列结论正确的是 （ ） 2lnx,1 x e 2lnx,1 x e

f g x fgx 222

ln2x,e x elnx,e x e （A） （B）

2 ln2x,0 x 1 lnx,0 x 1

g f x g f x 2

2

lnx,1 x 2 lnx,1 x 2 （C） （D）

cosx

fx xsinxe( x )是 （ ） （2）函数

（A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数

x2,x 0 2 x,x 0

f x g x

x,x 0，则g f x = （ ） x 2,x 0， （3）设

2 x2,x 0 2 x2,x 0

2 x,x 0（A） （B） 2 x,x 0

2 x2,x 0 2 x2,x 0 2 x,x 0（C） （D） 2 x,x 0

3、在半径为r的球面内嵌入一个内接圆柱体，试将圆柱体的体积V表示为其高h的函数。

4、下列各题中复合函数的复合过程

2sin3x

（1）y e （2）y lgarctan x 5、求下列各函数的定义域

x

1z ln y x

y x 2 lg 5 x x2 y2 x 3 （1） （2）

x

6、已知f x e，f x 1 x且 x 0，求 x 及其定义域。

2

x 8 fx f 2

fx x x 3x 1 的所有根。 *7、设，试求

练习2—2 1、填空题

limxcosx （1）x 0 。

a2 bn 5

lim 2n 3n 2（2）若，则a= ，b= 。 x2 4x 1lim 2

（3）x 3x 1 2、求下列各极限

x21 x2 1 lim lim3 x 2 x2 4x 2 （1） （2）x x x 2

h（3）x 1x 1 （4）h 0

3x 1,x 1f x 2

limf x x 1,x 1 f1 0,f1 0 3、设，求及x 1。

练习2—3 1、填空题

11 cosx

limxsin lim 2x x 0x （2）x （1） x 2a lim 8x

*（3） 设 x a ，则常数a= 。

2、选择题

x

lim

x 1

2

x h x2lim

111 lim x 1 22 3n(n 1) 之值为 （ ） （1）

（A）+ （B）0 （C）1 （D）2

（2）函数f x 1 x在点x 0处的极限为 （ ） （A）e （B）e 1 （C）0 （D）不存在

3、计算下列极限

1 cos2xlimlimxcot2xx 0xsinx （1） （2）x 0

sin x2 cosx lim 0 lim

sin2x （3）x 0sin x （4）x 0

3 2x

lim lim 1 3x x 2 2x （5）x 0 （6）

2

x

x

1x

1lim

2n

n 14、求极限

1n 2

2

2

n n 1

5、证明数列xn 2 2 2的极限存在，并求此极限。 练习2—4 1、填空题

2xasin2

2是等价无穷小，则常数a。（1） 设x 0时，1 cosx与

lim 1 3x

（2） x 0。

arctanxlim

x（3） x

2、选择题

（1）x a时，f x 为无穷小量，g x 为无穷大量，则 必为无穷大量 （ ）

1

g x

（A）f x g x （B）fx

f x

（C）f x g x （D）gx

2sinx

（2）当x 时，函数f x xsinx是 （ ） （A）无穷大量 （B）无穷小量 （C）无界函数 （D）有界函数

x2

lim ax b 0x x 1 （3） ，则 （ ）

（A）a b 1 （B）a 1,b 1

（C）a 1,b 1 （D）a b 1

x2 1x 1

e

*（4）当x 1时，函数x 1的极限 （ ） （A）等于2 （B）等于0 （C）为 （D）不存在但不为 3、计算下列各极限

sin5x 2xln 1 2x limlimx

（1）x 02sinx （2）x 0e 1

1

ln1 x2etanx ex

limlimx 0secx cosx（3） （4）x 0tanx x

e 11 cosaxlim

2

（5）x 0sinx （6）x 01 cos cosx

b

4、设x 0时， ax与tanx sinx为等价无穷小，求常数a,b之值

x2

lim

xxx

limcoscos2 cosn

222 5、求极限n

练习2—5 1、判断题

（1）若f x 在x0处连续，g x 在x0处间断，则f x +g x 在x0处间断。 （2）若f x 在x0处连续，g x 在x0处间断，则f x g x 在x0处间断。 （3）分段函数必存在间断点。 2、填空题

（1）f x 在x0处左、右极限存在是f x 在x0处连续的 。

sin2x e2ax 1

,x 0

f x x

a,x 0在 , 上连续，则a （2）设

a bx2,x 0

f x sinbx

,x 0

x（3）若在x 0处连续，则常数a与b应满足 。

4、选择题

1

f x xsin

x的 （ ） （1）x 0是函数

（A）无穷间断点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）振荡间断点

12 x

f x 2,x 0

x 0且f x 无间断点，则a （ ） a,（2）设函数

（A）0 （B）1 （C）2 （D） *（3）设函数f x 和 x 在 , 内有定义，f x 为连续函数，且f x 0， x 有间断点，则 （ ）

2

fx fx（A）必有间断点 （B）必有间断点

x

（C）f x 必有间断点 （D） fx必有间断点 4、求下列各极限

limlnsinx

(1)

x

2

(2)x 1

x 1 1

lim

5x 4 xx 1

x 4 2 (4)x (3)

5、求间断点，并指出间断点的类型

x 0

lim

lim

x

2

x x2 1

f x

2 1

2 1 (2)

1x

1x

(1)

f x lim

1 xn 1 x2n

1

cosx x2,x 0f x

x 0在x 0处连续，求常数a。 a,*6、已知

lnx

f x 2

x 3x 2的间断点,并判断其类型。 7、求

练习2-6

3

1、证明方程x 2x 6至少有一根介于1和2之间。

x

2、证明方程x 2 1至少有一个小于1的正根。

3、设f x 连续，x a与x b是方程f x =0的两个相邻的根，如果有c a,b ，使f c 0,试证明在 a,b 内f x 0。

4、设f x 在 a,b 上连续,且a x1 x2 b，证明在 a,b 上至少存在一点 ,使得k1f x1 k2f x2 k1 k2 f 成立，其中k1,k2是任意正常数。

习题答案与提示

练习2—1 1、填空题

5 f

（1）0 x e （2） 2

5 f 2

1

f 2

2

2

3 1 1

f 1

4 2 4

x 4x

x 4 （3）f f x 1 （4）e

2、（1）（B） （2）（D） （3）（D）

2h2

v h r 4

，h 0,2r 3、

uy e4、（1），u sinv，v 3x

（2）

y lgu,u arctanv,v , 1 x2

6、 x ln1 x,x 0

7、根是x 4与x 2

练习2—2

x,y y x 0,x 0,x2 y2 12） 2,3 3,5 （5、（1）

1

1、（1）0 （2） 为任意常数，b 6 （3）3

3

2、（1）4 （2）0 （3）不存在 （4）2x

limf x

3、f 1 0 2，f 1 0 4，x 1不存在 练习2—3

1

1、（1）1 （2）2 （3）ln2 2、（1）（C） （2）（D） 13、（1）2 （2）2

1

6

（3）

12

（4）42 （5）e （6）e 4、答案为1。提示：应用夹逼准则。

2

x 2 xxx 2 xnn 15、显然，n单调上升，且n。由n 2 xn 1得，

xn 2 xn 1，

limxn l

2

xn

2

1 2 1limxxn

，即 xn 有界。由单调有界准则知n n存在，

令n ，有l 2 l，解得l 2。

练习2—4

6

1、（1）4 （2）e （3）0 2、（1）（A） （2）（C） （3）（C） （4）（D）

3

3、（1）2 （2）2 （3）1

12a

（4）1 （5）2 （6）4

1a ,b 3

24、

xxxsinxcoscos2 cosn

xsinx222

2nsinn

2。 5、答案为x。提示：

练习2—5 1、（1）√ （2）× （3）× 2、（1）必要条件 （2）a 2 （3）a b 3、（1）（B） （2）（A） （3）（D）

1

4、（1）0 （2）2 （3）2 （4）2 5、（1）x 0是跳跃间断点，属于第一类 （2）x 1是跳跃间断点，属于第一类

6、a e

7、间断点为0、1、2。x 0为无穷间断点，属于第二类；x 1可去间断点，属于第一类；x 2是无穷间断点，属于第二类。

练习2-6

3

fx x 2x 6，则f 1 0，f 2 0，于是由零点定理可得结论。1、令

x fx x 2 1，则f 0 0，f 1 0，于是由零点定理可得结论。 2、令

3、用反证法，若即在 a,b 内至少有一点x0，使f x0 0，由界值定理，在

12

以x0与c为端点的区间内必存在一点 ，使得f 0，这与x a,x b为两相邻矛盾。

4、因f x 在 a,b 连续，故f x 在 a,b 上能取到最大值M和最小值m，且有

k1 k2 m k1f x1 k2f x2 k1 k2 M

kf x1 k2f x2 m 1 M

k1 k2

即

k1f x1 k2f x2 f

k k a,b 12再由介值定理，在上至少存在一点，使。