2020-2021深圳市文汇中学高一数学上期末试卷(及答案)

2020-2021深圳市文汇中学高一数学上期末试卷(及答案)

一、选择题

1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2

B ．2

C ．-98

D ．98 2．已知函数1()ln(1)f x x x =+-；则()y f x =的图像大致为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

3．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a b c >> C ．b a c >> D ．c a b >>

4．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝

⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．()1,+∞

B ．（1,8）

C ．（4,8）

D ．[

4,8) 5．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）

A ．1e

B ．e

C ．21e

D ．2e

6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ）

A ．()3log 2,1

B ．[)3log 2,1

C ．61log 2,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭ D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

7．若x 0＝cosx 0，则（ ）

A ．x 0∈（3π，2π）

B ．x 0∈（4π，3π）

C ．x 0∈（6π，4π）

D ．x 0∈（0，6

π） 8．设函数()()212

log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃

B ．()(),11,-∞-⋃+∞

C ．()()1,01,-⋃+∞

D ．()(),10,1-∞-⋃

9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ） A ．1 B ．-1 C ．-3 D ．3

10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。若实数a 满足(

)(12

a f f ->，则a 的取值范围是 （ ） A ．1,2⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭U C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

11．

曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ）

A ．53(

,]124 B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34

D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 12．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

13．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.

14．若函数cos ()2||x f x x x =++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

______. 15．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

＝ ． 16．设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y

+-的最小值为__________. 17．函数{}

()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,{,a a b a b b a b ≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.

18．已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()x f x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭

________. 19．若函数()121

x f x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 20．已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为_____________.

三、解答题

21．已知函数()(2lg 1x f x

x =+.

（1）判断函数()f x 的奇偶性；

（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.

22．已知函数2,,()lg 1,,x x m f x x x m ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„其中01m <„. （Ⅰ）当0m =时，求函数()2y f x =-的零点个数；

（Ⅱ）当函数2()3()y f x f x =-的零点恰有3个时，求实数m 的取值范围.

23．已知函数2()log (421)x x f x a a =+⋅++，x ∈R ．

（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；

（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．

24．已知1()f x ax b x

=++是定义在{|0}x x ∈≠R 上的奇函数,且(1)5f =. （1）求()f x 的解析式；

（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

上的单调性,并用定义加以证明. 25．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．

（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；

（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．

26．已知函数()x

f x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围;

(2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f (－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A

2．B

解析：B

【解析】

试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1x g x x

'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1

()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.

考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.

3．A

解析：A

【解析】

【分析】

构造函数()log 2x

x f x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】

构造函数()21log 1log 212log x x x f x x

==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<.

故选A

【点睛】

本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.

4．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据分段函数单调性列不等式，解得结果.

【详解】 因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩

是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a a a ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩

故选：D

【点睛】

本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.

5．A

解析：A

【解析】

【分析】

直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可.

【详解】

因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩

， 因为

102

>，所以211()log 122f ==-， 又因为10-<， 所以11(1)f e e

--==， 即1

1(())2

f f e

=，故选A. 【点睛】 该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量. 6．C

解析：C

【解析】

分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.

详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=，

所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2.

当x ∈[0,1]时，()21x

h x =-， y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点.

绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：

22log 41log 61

k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝

⎭． 本题选择C 选项.

点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．C

解析：C

【解析】

【分析】

画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数

()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间

【详解】

画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662

f ππ⎛⎫=-≈-=-< ⎪⎝⎭，20.7850.7070.0780442

f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫

⎪⎝⎭. 故选：C

【点睛】

本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

8．C

解析：C

【解析】

【分析】

【详解】

因为函数()()212

log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122

0log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是

()()1,01,-⋃+∞，

故选C. 9．C

解析：C

【解析】

【分析】

由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．

【详解】

Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，

∴()()f x f x -=-，

又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，

(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴，

∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4，

∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-

Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，

令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6

()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：

由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f = ∴(2019)(1)3f f =-=-，

故答案选C ．

【点睛】

本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．

10．D

解析：D

【解析】

()(122a f f ->-11112(2)(2)2222a a a f f ---⇒->⇒->⇒<

111131122222a a a ⇒-<

⇒-<-<⇒<<,选D. 11．A

解析：A

【解析】 试题分析：241(22)y x x =--≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时

斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124

考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法

12．A

解析：A

【解析】

函数有意义，则：10,1x x +>∴>-，

由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =

⨯-+=，则选项BD 错误； 且211111112ln 1ln ln 4022228

48f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误； 本题选择A 选项.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

二、填空题

13．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f （x0）=x0的实数根二次函数f （x ）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可 解析：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭

【解析】

【分析】

不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．

【详解】

解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，

即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，

∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即2403100113

2(1)160

a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，

解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭

； 故答案为：10,33⎡⎫-

-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题． 14．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值

解析：10

【解析】

【分析】 由cos ()2||x f x x x =++

，得()()42||f x f x x +-=+，由此即可得到本题答案. 【详解】 由cos ()2||x f x x x =++，得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x

--=+-+=+--， 所以()()42||f x f x x +-=+，则

(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+，

(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+， 所以，11(lg 2)lg

(lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. 故答案为：10

【点睛】

本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值. 15．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7

解析：7

【解析】

【分析】

【详解】 设

， 则

， 因为11222⎛⎫⎛⎫++-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以

，

,

故答案为7. 16．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题

解析：2【解析】

【分析】

令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值.

【详解】

,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，

则236log ,log ,log ,x t y t z t ===

11log 3,log 6t t y z

==， 21122log log 222t x t z y

+-=+≥ 当且仅当22

x =时等号成立. 故答案为:22

【点睛】

本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题. 17．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝

解析：0232m <<

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：由{},min ,{,a a b a b b a b ≤=>可知{}()min 2,2f x x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由22x x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得423423x -≤≤+ 当423423x -≤≤+时，22x x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2|

当423x +＞或0433x ≤-＜时，22x x -＜，此时f （x ）＝2x

∵f （4﹣23）＝232-

其图象如图所示，0232m -＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点

故答案为0232m -＜＜

考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.

点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.

18．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇 e

【解析】

【分析】

由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫

⎪⎝⎭，再代入求值即可.

【详解】

因为

()()1f x f x +=-， 所以()()()21f x f x f x +=-+=，

所以()f x 是以2为周期的函数，

因为当11x -<≤时，()x

f x e = ，

所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

故答案为.

【点睛】

本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用. 19．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键 解析：12

- 【解析】

【分析】

由函数()f x 是奇函数，得到()010021f a =

+=+，即可求解，得到答案. 【详解】

由题意，函数()121x f x a =

++是奇函数，所以()010021f a =+=+，解得12a =-， 当12

a =-时，函数()11212x f x =-+满足()()f x f x -=-， 所以12

a =-

. 故答案为：12

-. 【点睛】 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

20．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916

【解析】

【分析】

将已知等式8(9)a a a a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.

【详解】

8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，

160,7ln 16ln 3,ln ln 37

a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37

a a a a ∴==+=-.

故答案为:

916

. 【点睛】 本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.

三、解答题

21．（1）奇函数；（2）(],2-∞-

【解析】

【分析】

（1）根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系，可得答案； （2）由（1）知函数()f x 是奇函数，将原不等式化简为()()121f m f m -≤--，判断出()f x 的单调性，可得关于m 的不等式，可得m 的取值范围.

【详解】

解：（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()(lg f x x -=-+，

所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.

（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--，设

lg y u =，u x =，x ∈R .

因为lg y u =是增函数，由定义法可证u x =在R 上是增函数，则函数()f x 是R 上的增函数.

所以121m m -≤--，解得2m ≤-，故实数m 的取值范围是(],2-∞-.

【点睛】

本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题.

22．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）10,

100⎡⎫⎪⎢⎣⎭

【解析】

【分析】 （I ）当0m =时，由()20f x -=，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出()2y f x =-的零点的个数.

（II ）令2()3()0f x f x -=，解得()0f x =（根据分段函数解析式可知()0f x >，故舍去.）或()3f x =.结合分段函数解析式，求得()3f x =的根，结合分段函数()f x 的分段点，求得m 的取值范围.

【详解】

（Ⅰ）当0m =时，2,0,()lg 1,0.

x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„ 令()20y f x =-=，得()2f x =，

则|lg |12x +=或||22x =.

解|lg |12x +=，得10x =或110

， 解||22x =，得1x =-或1x =（舍）.

所以当0m =时，函数()2y f x =-的零点为1-，110

，10，共3个. （Ⅱ）令2()3()0f x f x -=，得()0f x =或()3f x =.

由题易知()0f x >恒成立.

所以()3f x =必须有3个实根，即|lg |13x +=和||23x =共有3个根.

①解||23x =，得2log 3x =-或2log 31x =>（舍），故有1个根.

②解|lg |13x +=，得100x =或1100x =

， 要使得两根都满足题意，则有1100m <

. 又01m <„，所以10100

m <„. 所以实数m 的取值范围为10,

100⎡⎫⎪⎢⎣⎭

. 【点睛】 本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.

23．（Ⅰ）{}1

（Ⅱ）13a -<<-【解析】