2010届高考数学复习强化双基系列课件__《圆锥曲线—双曲线》

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2010届高考数学复习 强化双基系列课件

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《圆锥曲线-双曲线》

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一、基本知识概要： 1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点 F1 , F2 距离的差的 绝对值等于 2a(2a | F1 F2 |) 的点的轨迹，即点集

P |

PF1 PF2 2a

。( 2a F F 为两射线；2 a F F1 2 1

2

无轨迹。)无外面的绝对值则为半条双曲线， 左-右为右支，上-下为下支等。

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一、基本知识概要： 1.双曲线的定义第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离的比是常数 PF1 e 1 P | d1 l

(e 1) 的动点的轨迹。即点集

=

PF2 e 1 P | d2

,一个比产生整

条双曲线。

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2.双曲线的标准方程及几何性质 标准方程x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b

图 形焦点F1(- c,0) ,F2( c,0) | F1F2|=2c| x | a, y R

F1(0, c ),F2( o, c)a 2 b 2 c 2一个Rt | y | a, x R

性 质

焦距 范围 对称性

关于x轴，y轴和原点对称

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标准方程

x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b

y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b

图形顶点 (-a,0) (a,0)a2 x c

(0,-a)(0,a)

性 质

轴 准线 渐 近 线

实轴长2a,虚轴长2ba2 y c x y b x y a 0 y x 0 y x a b a b a b x2 y2 y2 x2 共渐近线的 2 k k (k 0) 2 2 2 双曲线系方程 a a b b

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标准方程

x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b

y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b

图形r1 PF1 ex a

P在右支上，

r1 PF1 ey a

P在上支上，P在下支上，

焦半径

r2 PF2 ex a

r2 PF2 ey a

r1 PF1 (ex a ) r2 PF2 (ex a )

P在左支上，

r1 PF1 (ey a ) r2 PF2 (ey a )

PF min c a

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标准方程

x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b

y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b

图 形 平面几何 性质 离心率c e (e 1) , e 大开口大 a

a2 2a 2 , 焦渐距= b 。 焦准距 p , 准线间距= c c

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说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求 双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两 个定义有深刻的认识。 (2)双曲线方程中的 a, b, c, e, p 与坐标系无关，只有 焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有 关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件： 两个定形条件 a, b ,一个定位条件，焦点坐标或准 线，渐近线方程。

求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或 轨迹方程法。

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说明：(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数 不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和 有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不 同的是直线与双曲线只有一个公共

点时，不 一定相切。x2 y2 利用共渐近线的双曲线系 2 2 k 或 a b 2 2 y x k (k 0) 方程解题，常使解法简捷。 2 a b2

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说明：(4)双曲线的焦半径，当点P在右支(或上支) 上时，为 ex0 a, (ey0 a); 当点P在左支(或下 支)上时，为 (ex0 a),[ (ey0 a)]; 利用焦半 径公式，解题简洁明了，注意运用。

重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌 握直线与双曲线的位置关系。

思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。

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例1:根据下列条件，求双曲线方程：x2 y2 (1) 与双曲线 1有共同渐近线，且过 9 16 点 ( 3,2 3) ; x y (2) 与双曲线 1有公共焦点，且过 16 4 点 (3 2 ,2) 。【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题2 2

简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。

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例2:在双曲线 x y 1上求一点P,使它到 左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了。

2

2

16

9

例3.(2002年全国，19)设点P到点M(-1, 0),N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距 离之比为2,求m的取值范围。【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问 题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。

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x2 y2 例4:已知双曲线 2 2 1的离心 e 1 2 , a b 左、右焦点分别的为 F1 , F2 ,左准线为 l1 ,能否

在双曲线的左支上找到一点P,使得 | PF1 | 是P到l 的距离 d 与 | PF2 | 的等比中项。

【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。

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例5.如图，在双曲线的上支有三点，它们与点 F(0,5)的距离成等差数列。 (1)求 y1 y3的值 (2)证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点， 并求此点坐标 【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问 题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题 即可解决问题。

往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，

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例6.已知双曲线的焦点在轴上，且过点 A(1,0) 和 B( 1,0) ,P是双曲线上异于A、B的任一点， 如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线 的标准方程。

【思维点拨】设方程，消参数。