线性代数第一章 行列式

线性代数中行列式的概念的讲解和习题

§1

二阶与三阶行列式

一、二阶行列式的引入二、三阶行列式 三、小结 思考题

线性代数中行列式的概念的讲解和习题

重点：二阶、三阶行列式的定义及 计算。 难点：三阶行列式的对角线法则。

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一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组 a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

1

1 a22 : 2 a12 :

a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,

两式相减消去 x2,得

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(a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2 ;类似地，消去 x1,得 (a11a22 a12a21)x2 a11b2 b1a21 ,

当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为a11b2 b1a21 b1a22 a12b2 . x1 , x2 a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 (2 )

由方程组的四个系数确定.

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定义

由四个数排成二行二列(横排称行、竖排

称列)的数表

a11 a21

a12 a22 ( 3)

表达式 a11a22 a12a21称为数表()所确定的二阶 3 行列式，并记作 a11 a21 a12 a22 ( 5)

即

D

a11 a21

a12 a22

a11a22 a12a21 .

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二阶行列式的计算主对角线 副对角线

对角线法则 a11a22 a12a21 .

a11 a12

a12

a22

a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .

若记 系数行列式

D

a11 a21

a12 a22

,

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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D

a11 a21

a12 a22

,

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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D1

b1 b2

a12 a22

,

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D

a11 a21

a12 a22

,

线性代数中行列式的概念的讲解和习题

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D1

b1 b2

a12 a22

,

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .

D2

a11 a21

b1 b2

.

线性代数中行列式的概念的讲解和习题

则二元线性方程组的解为b1 a12 a11 b1

D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22

D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22

注意

分母都为原方程组的系数行列式.

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例1 求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.

解D1

D

3 2 2 1 1

3 ( 4) 7 0,

12 2 1

14, D2

3 12 2 1

21,

D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7

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二、三阶行列式定义设有9个数排成3行 3列的数表 a11 a21 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ( 5)

记 a11 a21 a31

a31a12 a22 a32 a13

a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a33

(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式.

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a11 D a21 a31

a12 a22 a32 a12 a22 a32

a13 a23 .列标 a33 行标 a13 a23 a33

三阶行列式的计算a11

a11 a21 a31

a12 a22 a32

(1)沙路法 D a21 a31

D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .

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(2)对角线法则 a11 a12a21 a31 a22 a32

a13 a23 a33

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .注意 红线

上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号.说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

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2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3a11 a12 a22 a32 a13 a23 0, a33

的系数行列式 D a21 a31

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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 a33

若记 b1 b2 b 1

D1 b2 b3 a11 D a21 a31

或