数列同步练习及详解答案

数列同步练习测试题

Ⅰ 学习目标

1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊

的函数.

2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.

3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是(

) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n

(C)a n ＝94(10n

－1) (D)a n ＝4×11n

2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( )

(A)30 (B)35 (C)36 (D)42

3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( )

(A)4 (B)13 (C)28 (D)43

4．156是下列哪个数列中的一项( )

(A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1}

5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( )

(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对

二、填空题

6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式： (1)n a ,,31

,52

,21

,32

,1 ＝________；

(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.

7．一个数列的通项公式是a n ＝122

n n .

(1)它的前五项依次是________；

(2)是其中的第________项.

8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________.

9．数列{a n }的通项公式为)12(3211

n a n (n ∈N *)，则a 3＝________.

10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项.

三、解答题

11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .

(1)写出数列{a n }的前6项；

(2)当n ≥5时，证明a n ＜0.

12．在数列{a n }中，已知a n ＝31

2 n n (n ∈N *

).

(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ； (2)79

32是否是此数列中的项若是，是第几项

13．已知函数x

x x f 1)( ，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋). (1)写出数列{a n }的前4项；

(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列为什么

等差数列同步练习测试题

Ⅰ 学习目标

1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题.

2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.

3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( )

(A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－198

2．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( )

(A)667 (B)668 (C)669 (D)670

3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )

(A)15 (B)30 (C)31 (D)64

4．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( ) (A)n a b (B)1 n a b (C)1 n a b (D)2

n a b 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )

(A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5

二、填空题

6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.

7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________.

8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.

9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.

10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，

则S 10＝________.

三、解答题

11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.

12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.

(1)求通项a n ；

(2)若S n ＝242，求n .

13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－．

(1)从第几项开始a n ＜0；

(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.

Ⅲ 拓展训练题

14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100．

等比数列同步练习测试题

Ⅰ 学习目标

1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题.

2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.

3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( ) (A)8

3 (B)2

4 (C)48 (D)54 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )

(A)33 (B)72 (C)84 (D)189

3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )

(A)4 (B)

23 (C)9

16 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( )

(A)81 (B)120 (C)168 (D)192

5．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论：

①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列.

其中正确的结论是( )

(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④

二、填空题

6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________.

7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________.

9．在3

8和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.

10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题

11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .

12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .

13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，

b ，

c .

Ⅲ 拓展训练题

14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于

q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝8

1

，a 42＝1，a 54＝5.

(2)求a ij 的计算公式.

数列求和同步练习测试题

Ⅰ 学习目标

1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.

Ⅱ 基础训练题

一、选择题

1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( )

(A)15

(B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为

21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( )

(A)60 (B)

(C)85 (D)120 3．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( )

(A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200

4．数列

)12)(12(1n n 的前n 项和为( ) (A)12 n n (B)122 n n (C)24 n n (D)1

2 n n 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( )

(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950

二、填空题

6．n n 11341231121

＝________.

7．数列{n ＋n

21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.

9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________.

10．n n 2

1813412211 ＝________. 三、解答题

11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .

12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝

n 2成立.

(1)求数列{a n }的通项a n ；

(2)求

13221111 n n a a a a a a .

13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211

n ，求数列的前n 项和S n .

Ⅲ 拓展训练题

14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.

数列综合问题同步练习测试题

Ⅰ 基础训练题

一、选择题

1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( )

(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2

2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( )

(A)5 (B)10 (C)15 (D)20

3．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( )

(A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5

(C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 5

4．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )

5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1

331 n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( ) (A)0

(B)－3 (C)3 (D)2

3 二、填空题 6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且 .

,,41,211为奇数为偶数n a n a a n n

n 则a 2＝________，a 3＝________. 7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________.

8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.

9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.

10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与

a n ＋1的等差中项，则{

b n }的前n 项和为________.

三、解答题

11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).

(1)求a 1，a 2，a 3；

(2)求数列{a n }的通项公式；

(3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.

12．已知函数f (x )＝4

22 x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21 n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.

13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.

(1)求公差d 的范围；

(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.

Ⅲ 拓展训练题

14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比

前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.

(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇

(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇

15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝

对差数列”.

(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；

(2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ；

(3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

数列全章综合练习同步练习测试题

Ⅰ 基础训练题

一、选择题

1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( )

(A)16 (B)20 (C)24 (D)36

2．在50和350间所有末位数是1的整数和( )

(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877

3．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定

4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( )

(A)－2 (B)2 (C)－4 (D)4

5．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )

(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015

二、填空题

6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.

7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________.

8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.

9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则10

74963a a a a a a ＝________.

10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21 n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项

公式a n ＝________.

三、解答题

11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.

12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；

(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.

(1)求证：数列{a n }成等比数列；

(2)求通项公式a n .

14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，

从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.

(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；

(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)

(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元

Ⅱ 拓展训练题

15．已知函数f (x )＝

412 x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11 n a )(n ∈N *).

(1)求a n ； (2)设b n ＝a 21 n ＋a 22 n ＋…＋a 212 n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25

m 成立若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.

16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q

＝f (P ).

设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.

若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，2

1y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；

(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.

测试答案

数列同步练习测试题

一、选择题

1．C 2．B 3．C 4．C 5．B

二、填空题

6．(1)1

2 n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a (或其他符合要求的答案) 7．(1)26

25,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4 提示：

9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.

10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案.

三、解答题

11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；

(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.

12．(1)3

1,313,31092421102 n n a n n a a n n ； (2)79

3

2是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n 1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415； (2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11 n ]－(n －n 1)＝1＋)1(1 n n 又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n . 所以数列{a n }是递增数列.

等差数列同步练习测试题

一、选择题

1．B 2．D 3．A 4．B 5．B

二、填空题

6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：

10．方法一：求出前10项，再求和即可； 方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m

∈N *).

当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2， 即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *). 所以数列{a 2m }是等差数列.

故S 10＝5a 1＋5a 2＋2

)15(5 ×2＝35. 三、解答题

11．设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得

.242344,7211d a d a 解得 .2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.

12．(1)设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得

.5019,3091

1d a d a 解得 .2,121d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.

(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n ×12＋

2

)1( n n ×2＝n 2＋11n ， ∴S n ＝n 2＋11n ＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍).

13．(1)通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝50＋(n －1)×(－＝－＋.

解不等式－＋＜0，得n ＞.

因为n ∈N *，所以从第85项开始a n ＜0. (2)S n ＝na 1＋2

)1( n n d ＝50n ＋2)1( n n ×(－＝－＋. 由(1)知：数列{a n }的前84项为正值，从第85项起为负值， 所以(S n )max ＝S 84＝－×842＋×84＝.

14．∵3a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝3

2， 由等差数列定义知：数列{a n }是公差为3

2的等差数列. 记a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝A ，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝B ， 则B ＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋(a 5＋d )＋…＋(a 99＋d )＝A ＋50d ＝90＋

3100. 所以S 100＝A ＋B ＝90＋90＋3100＝2133

1. 等比数列同步练习测试题

一、选择题

1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 提示：

5．当a 1＝0时，数列{a n }是等差数列；当a 1≠0时，数列{a n }是等比数列； 当a 1＞0时，数列{a n }是递增数列；当a 1＜0时，数列{a n }是递减数列.

二、填空题

6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2 提示：

10．分q ＝1与q ≠1讨论.

当q ＝1时，S n ＝na 1，又∵2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，

∴2na 1＝(n ＋1)a 1＋(n ＋2)a 1，

∴a 1＝0(舍).

当q ≠1，S n ＝q

q a n 1)1(1.又∵2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， ∴2×q q a n 1)1(1＝q

q a q q a n n 1)1(1)1(2111， 解得q ＝－2，或q ＝1(舍).

三、解答题

11．(1)a n ＝2×3n －1； (2)n ＝5.

12．q ＝±2或±2

1. 13．由题意，得

.15)1()4)(1(,22c b a b c a b c a ，解得 852c b a ，或 1511c b a . 14．(1)设第4列公差为d ，则161381165252454

a a d . 故a 44＝a 54－d ＝41161165 ，于是q 2＝4

14244 a a . 由于a ij ＞0，所以q ＞0，故q ＝2

1. (2)在第4列中，a i 4＝a 24＋(i －2)d ＝i i 16

1)2(16181 . 由于第i 行成等比数列，且公比q ＝

21， 所以，a ij ＝a i 4·q j －4＝j j i i )2

1()21(1614 . 数列求和同步练习测试题

一、选择题

1．B 2．A 3．B 4．A 5．C

提示：

1．因为a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)q 4＝1×24＝16，

所以S 8＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＝1＋16＝17.

2．参考测试四第14题答案.

3．由通项公式，得a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝a 5＋a 6＝…＝－2，所以S 100＝50×(－2)＝－100.

4．)121121(21)5131(21)311(21)12)(12(1531311 n n n n 1

2)]121121()5131()311[(21 n n n n . 5．由题设，得a n ＋2－a n ＝3，所以数列{a 2n －1}、{a 2n }为等差数列，

前100项中奇数项、偶数项各有50项，

其中奇数项和为50×1＋

24950 ×3＝3725，偶数项和为50×2＋24950 ×3＝3775， 所以S 100＝7500.

二、填空题

6．11 n 7．

1212)1( n n n 8．31(4n －1) 9． )1,0(,11)1(,1)0(,11a a a a a n a n 且 10．n n n 22121

提示：

6．利用n n n n 111

化简后再求和.

8．由a n ＋1＝2a n ，得21 n

n a a ，∴221n n a a ＝4， 故数列{a 2n }是等比数列，再利用等比数列求和公式求和.

10．错位相减法.

三、解答题

11．由题意，得a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是等差数列，是递增数列.

∴a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，

由a n ＝2n －13＞0，得n ＞2

13. 所以，当n ≥7时，a n ＞0；当n ≤6时，a n ＜0.

当n ≤6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－a 1－a 2－…－a n ＝－[n ×(－11)＋2

)1( n n ×2]＝12n －n 2； 当n ≥7时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－a 1－a 2－…－a 6＋a 7＋a 8＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 6)

＝n ×(－11)＋2)1( n n ×2－2[6×(－11)＋2

56 ×2]＝n 2－12n ＋72. S n ＝ )

7(,7212)6(,1222n n n n n n (n ∈N *). 12．(1)∵f (1)＝n 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 2. ①

所以当n ＝1时，a 1＝1；

当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝(n －1)2 ②

①－②得，a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1.(n ≥2)

因为n ＝1时，a 1＝1符合上式.

所以a n ＝2n －1(n ∈N *).

(2))

12)(12(153131********* n n a a a a a a n n )121121(21)5131(21)311(21 n n )]121121()5131()311[(21 n n 1

2)1211(21 n n n . 13．因为)2(212211)211(1214121111

n a n n n n . 所以)2

12()212()212(11221 n n n a a a S )2

12121()1(2112 n n 1121222

11)211(2112 n n n n . 14．(1)a n ＝2n ；

(2)因为b n ＝2nx n ，

所以数列{b n }的前n 项和S n ＝2x ＋4x 2＋…＋2nx n . 当x ＝0时，S n ＝0；

当x ＝1时，S n ＝2＋4＋…＋2n ＝

2

)22(n n ＝n (n ＋1)； 当x ≠0且x ≠1时，S n ＝2x ＋4x 2＋…＋2nx n ，

xS n ＝2x 2＋4x 3＋…＋2nx n ＋1；

两式相减得(1－x )S n ＝2x ＋2x 2＋…＋2x n －2nx n ＋1， 所以(1－x )S n ＝2x

x x n 1)1(－2nx n ＋1， 即x nx x x x S n n n 12)1()1(212

. 综上，数列{b n }的前n 项和

)1(,12)1()1(2)1(),1(12x x nx x x x x n n S n n n 数列综合问题同步练习测试题

一、选择题

1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 提示：

5．列出数列{a n }前几项，知数列{a n }为：0，－3，3，0，－3，3，0….不难发现循

环规律，即a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 3m －2＝0； a 2＝a 5＝a 8＝…＝a 3m －1＝－3； a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 3m ＝3. 所以a 20＝a 2＝－3.

二、填空题

6．41;21 7．85 8．512 9．23n 2－23n ＋2 10．2[1－(3

1)n ] 三、解答题

11．(1)64

3,163,43321 a a a . (2)当n ＝1时，由题意得a 1＝5S 1－3，所以a 1＝

43； 当n ≥2时，因为a n ＝5S n －3， 所以a n －1＝5S n －1－3； 两式相减得a n －a n －1＝5(S n －S n －1)＝5a n ， 即4a n ＝－a n －1.

由a 1＝4

3≠0，得a n ≠0. 所以4

11 n n a a (n ≥2，n ∈N *). 由等比数列定义知数列{a n }是首项a 1＝43，公比q ＝－41的等比数列. 所以.)4

1(431 n n a (3)a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝)1611(5416

11)1611(4

3n n . 12．由a 21 n ·f (a n )＝2，得242221

n n a a ， 化简得a 21 n －a 2n ＝4(n ∈N *). 由等差数列定义知数列{a 2n }是首项a 21＝1，公差d ＝4的等差数列. 所以a 2n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. 由f (x )的定义域x ＞0且f (a n )有意义，得a n ＞0. 所以a n ＝34 n .

13．(1)

06011201213211301112211211113112d a d a d a S d a S ， 又a 3＝a 1＋2d ＝12 a 1＝12－2d ，

∴

030724d d ，故724 ＜d ＜－3. (2)由(1)知：d ＜0，所以a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 13.

∵S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝

2

13(a 1＋a 13)＝13a 7＜0， ∴a 7＜0，且a 6＞0，故S 6为最大的一个值. 14．(1)设第n 分钟后第1次相遇，依题意有2n ＋2

)1( n n ＋5n ＝70， 整理得n 2＋13n －140＝0.解得n ＝7，n ＝－20(舍去).

∴第1次相遇是在开始运动后7分钟.

(2)设第n 分钟后第2次相遇，依题意有2n ＋

2

)1( n n ＋5n ＝3×70， 整理得n 2＋13n －420＝0.解得n ＝15，n ＝－28(舍去).

∴第2次相遇是在开始运动后15分钟.

15．(1)a 1＝3，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝1，a 6＝0，a 7＝1，a 8＝1，a 9＝0，a 10＝1.(答案不

唯一)

(2)因为在绝对差数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，所以该数列是a 1＝3，a 2＝0，a 3＝3，a 4＝3，a 5＝0，a 6＝3，a 7＝3，a 8＝0，….

即自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3， 所以 ,

0,3,3332313n n n a a a (n ＝0，1，2，3，…). (3)证明：根据定义，数列{a n }必在有限项后出现零项，证明如下： 假设{a n }中没有零项，由于a n ＝|a n －1－a n －2|，所以对于任意的n ，都有a n ≥1，从而 当a n －1＞a n －2时，a n ＝a n －1－a n －2≤a n －1－1(n ≥3)；

当a n －1＜a n －2时，a n ＝a n －2－a n －1≤a n －2－1(n ≥3)；

即a n 的值要么比a n －1至少小1，要么比a n －2至少小1.

令c n ＝ ),

(),(212221212n n n n n n a a a a a a (n ＝1，2，3，…). 则0＜c n ≤c n －1－1(n ＝2，3，4，…).

由于c 1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c n ＜0， 这与c n ＞0(n ＝1，2，3，…)矛盾，从而{a n }必有零项.

若第一次出现的零项为第n 项，记a n －1＝A (A ≠0)，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A ，A ，即