平面直角坐标系中的基本公式教师版

平面直角坐标系中的基本公式教师版

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

一、基础过关

1． 已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于

A．0或8

C．0或6 B．0或－8 D．0或－6

( ) ( ) 2． 已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于

A．5 B．－1 C．1 D．－5

3． 以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是

A．等边三角形

C．直角三角形 B．等腰三角形 D．无法确定 ( )

4． 设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于

A．5

C．5 B．2 D．10 ( )

5． 已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______．

6． 点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．

7． 已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3)．

(1)求证：△ABC是直角三角形；

(2)求△ABC的外心的坐标．

8． △ABC中，AO是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．

二、能力提升

9． 已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是

A．4x＋2y＝5

C．x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 D．x－2y＝5 ( )

10． 已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )

A．(－1,0)

22 C. 5，0 B．(1,0) 220 D. 5

11．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．

12．求函数yx－8x＋20＋x＋1的最小值．

三、探究与拓展

13．在△ABC所在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最小值.

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答案

1．A 2.D 3.B 4.C 5.17 6．(2,10)或(－10,10)

7．(1)证明 |AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100，

|BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20，

|AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80，

因为|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，

所以△ABC为直角三角形，∠C＝90°.

6＋01－7(2)解 因为△ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中点，所以外心坐标为(，即(3，－3)． 22

8．证明 以BC边所在直线为x轴，边BC的中点为原点建立直角坐标系，如图，设B(－a,0)，O(0,0)，C(a,0)，

其中a>0，A(m，n)，则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，

|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2 ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．

9．B 10．B 11．26

12．解 原式可化为y x－4 ＋ 0－2 ＋ x－0 ＋ 0－1 .

考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，

则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．

作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出

|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．

由两点间的距离公式可得|A′B|＝4＋ －2－1 ＝5， 所以函数y＝x－8x＋20＋x＋1的最小值为5.

13．解 设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则

|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x－x1)2＋(y－y1)2＋(x－x2)2＋(y－y2)2＋(x－x3)2＋(y－y3)2

＝[3x2－2(x1＋x2＋x3)x＋x21＋x22＋x23]＋[3y2－2(y1＋y2＋y3)y＋y21＋y22＋y23]．

由二次函数的性质，知

xx＋x

3＋x，

y＋y＋y y3，123123 即P为△ABC的重心时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最小值．