2014高三数学一轮复习：2.1函数及其表示

[备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考

1.了解构成函数的要素，1.考查方式多为填空题. 了解映射的概念. 2.函数的表示方法是高考的常考 2.在实际情境中，会根 内容，特别是图象法与解析法 据不同的需要选择恰 更是高考的常客. 当的方法(如图象法、 3.分段函数是高考的重点也是热 列表法、解析法)表 点，常以求解函数值，由函数 示函数. 值求自变量以及与不等式相关 3.了解简单的分段函数， 的问题为主，如2010年高考 并能简单应用. T11,2011年高考T11.

[归纳

知识整合]映射

1.函数与映射的概念函数 两集合A, B A,B是两个非空数集 按照某种对应法则f,

非空集合 A,B是两个_________每一个

对应法则

惟一 对于集合A中的每个 按某种对应法则f,对于A 惟一 元素x,在集合B中都 中的 元素，在B 有 的元素y和它对 应 这 样的对应叫做从A 中都有 之对应 这样的单值对应叫做从集 的元素与

名称

[探究] 1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别：映射定义中的两个集合是非空集 合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集， 二者的联系：函数是特殊的映射. 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y=f(x),x∈A中，所有的输入值x组成的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数 值， 函数值的集合 {f(x)|x∈A }叫做函数的值域.显然， 值域是集合B的子集. (2)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则 .

3.相等函数 如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应法则 完全

一致，则这两个函数为相等函数.[探究] 2.若两个函数的定义域与值域相同，它们是 否是同一个函数？

提示：不一定.如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y=sin x与y= cos x,其定义域都为R,值域都为[-1,1],显然不是同一

个函数.因为定义域和对应法则完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应法则完全相同的两个函数才 是同一个函数.

4.函数的表示方法

表示函数的常用方法有： 列表法 、 解析法 和 图象法 .5.分段函数 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像 这样的函数，通常叫做分段函数.分段函数的定义域等 于各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段函数的值 域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的

是一个函数.

[自测 牛刀小试]1.(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有______(填 序号). ①函数是定义域到值域的对应法则； ②函数 f(x)= x-4+ 1-x; ③f(x)=5,因这个函数的值不随 x 的变化而变化，所以 f(t2+1)也

等于 5; ④y=2x(x∈N)的图象是一条直线； ⑤f(x)=1 与 g(x)=x0 表示同一个函数.

x-4≥0, 解析：由函数的定义知①正确；由 1-x≥0,

得定义域为 ,

所以不是函数，故②错误；因为函数 f(x)=5 为常数函数，所以 f(t2+1)=5,故③正确；因为 x∈N,所以函数 y=2x(x∈N)的图 象是一些离散的点，故④错误；由于函数 f(x)=1 的定义域为 R, 函数 g(x)=x0,的定义域为{x|x≠0},故⑤错误.综上分析，可 知正确的是①③.

答案：①③

2.(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射 的有________(填序号).

①集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应法则f:数轴上的点与它所代表的实数对应; ②集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B= {(x,y)|x∈R,y∈R},对应法则f:平面直角坐标系中 的点与它的坐标对应；

③集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应法则f:每一个三角形都对应它的内切圆；

④集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新

华中学的学生},对应法则f:每一个班级都对应班里的学生. 解析：由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一 个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从 集合A到集合B的映射.

答案：①②③

3. (2012· 江西高考)若函数 =________.

x2+1,x≤1, f(x)= lg x,x>1,

则 f(f(10))

解析：f(10)=lg 10=1,故 f(f(10))=f(1)=12+1=2.

答案：2

x+2 4.(教材习题改编)已知函数 f(x)= ,则 f(f(4))= x-6 ________;若 f(a)=2,则 a=________.

x+2 4+2 解析：∵f(x)= ,∴f(4)= =-3. x-6 4-6 -3+2 1 ∴f(f(4))=f(-3)= = . -3-6 9 a+2 ∵f(a)=2,即 =2, a-6 解得 a=14. 1 答案： 14 9

5.(教材习题改编)A={x|x 是锐角},B=(0,1),从 A 到 B 的映射是“求余弦”, A 中元素 60° 与 相对应的 B 中的 3 元素是____; B 中元素 相对应的 A 中的元素是 与 . 2 1 解析：∵cos 60° ,∴与 A 中元素 60° = 相对应的 B 中的 21 元素是 . 2 3 3 又∵cos 30° = ,∴与 B 中元素 相对应的 A 中的元 2 2 1 素是 30° . 答案： 30° 2

函数与映射的概念[例 1] 有以下判断：

1 x≥0 , |x| ①f(x)= x 与 g(x)= 表示同一个函数； -1 x<0

②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个； ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数； ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 1 f f 2 =0.

其中正确的是________(填序号).

[自主解答] 且 x≠0}, 而函数 不是同一函数；

|x| 对于①,函数 f(x)= x 的定义域为{x|x∈R 1 x≠0 , g(x)= -1 x<0

的定义域是 R, 所以二者

对于

②,若 x=1 不是 y=f(x)定义域内的值，则直线 x= 1 与 y=f(x)的图象没有交点， x=1 是 y=f(x)定义域内的值， 若 由函数的定义可知，直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交 点，即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个交点；

对于③,f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应法则均相 同，所以 f(x)与 g(t)表示同一函数； 对于④,由于 f 1 1 1 f 2 = 2-1 - 2 =0,所以

1 f =f(0)=1. 2

综上可知，正确的判断是②③.

[答案]

②③