2.12导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题(2)

第二章　第十二节

2

()由f3′(x)=3x+6x-9=0得x=1或x=-3,当x<-3时,′(x)>0,f

当-3<x<1时,′(x)<0,f当x>1时,′(x)>0,f

32

()若函数y=x则实3+x+mx+1是R上的单调函数,

())解析】在(上有f所以f(　【10,2π′(x)=1-cosx>0,x)

)在(上单调递增.0,2π()由导函数图象知,在(上为正,在(2′(x)-∞,0)0,2)f

上为负,在(上为正,所以f(在(上是2,+∞)x)-∞,0))增函数,在(上是减函数,在(上是增函数,比0,22,+∞)较①②③④,只有③符合.

数m的取值范围是　　　　.

函数极值与最值的求法3.

()求可导函数极值的步骤1;①求导数f′(x)②求方程f′(x)=0的根;

的极值点.∴x=1和x=-3都是f(x)

()))答案:1①×②√③×　(21　(3x=1,x=-3

检验f在方程f③列表,′(x)′(x)=0的根左右两侧的符

,号(判断y=f(在根左右两侧的单调性)确定是否为x)()求函数y=f(在闭区间[上的最值可分两步进2x)a,b]行

在(内的极值;①求y=f(x)a,b)

、的各极值与端点处的函数值f(②将函数y=f(x)a)极值,是极大值还是极小值.

32

()函数y=x只需y3+x+mx+1是R上的单调函数,′

2

=3x+2x+m≥0恒成立,

1即Δ=4-12m≤0,∴m≥.

3

函数极值的概念2.()极值点与极值1

1()))答案:单调递增　(12③　(3m≥

3

比较,其中最大的一个为最大值,b)f(值.

,设函数f(在点xx)0及附近有定义且在x0两侧的单调

)xf(0为函数的极值.

()极大值点与极小值点2

,(),性相反(或导数值异号)则x0为函数fx的极值点

)思考:最值是否一定是极值?　(1

提示:不一定.如果最值在端点处取得就不是极值.12【解析】由f′(x)=3-12x=0得x=±,

2

3

()]函数f(的最大值是　　　.2x)=3x-4x,x∈[0,1

,导数值先正后负)则x①若先增后减(0为极大值点.

,导数值先负后正)则x②若先减后增(0为极小值点.

)()判断下列结论的正误.请在括号中填“或“　(1√”×”

(①导数为零的点一定是极值点　　),,)(右侧f那么f(′(x)>0′(x)<0x　　)f0是极大值

在点x如果在x③函数f(x)0及附近有定义,0附近的左侧,,)(右侧f那么f(′(x)<0′(x)>0x　　)f0是极大值

(),函数f(的定义域为开区间(导函数f在2x)a,b)′(x)(内的图象如图所示,则函数f(在开区间(内a,b)x)a,b)有极小值点的个数为.

在点x如果在x②函数f(x)0及附近有定义,0附近的左侧

322

()已知函数f(3x)=x+ax+bx+a在x=1处取极

)值1则f(0,2.2

【解析】由题意′(x)=3x+2ax+b,f

1))∵f(0=0,=1,1=-1,∴f(x)1.f()f(max=2答案:1

{

1+a+b+a=10

,即得a=4或a=-3.

3+2a+b=0

{

2

)1=10f(

,

()′1=0f

2

但当a=-3时,故不存在b=3,′(x)=3x-6x+3≥0,f

)极值,∴a=4,b=-11,2=18.f(

导数的实际应用4.

答案:18

导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰,当的数学模型(函数关系)再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中要时刻注意实际问题的意义.

()解析】　【1①导数为零只是函数在该点取极值的必要条()从f的图象可知f(在(内从左到右的单调2′(x)x)a,b)性依次为增→减→增→减,所以f(在(内只有一x)a,b)个极小值点;

件,为极小值,故错误.②正确,③f(x0)

32

()函数f(3x)=x+3x-9x的极值点为

.

)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量　(1则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为.

3

单位:万件)的函数关系式为y=-1xx(+81x-234,

3

()将边长为1m的正三角形薄片沿一条平行于某边的2

2

(梯形的周长)

,直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=

梯形的面积则S的最小值是　　　　.

“。讲事实,国学智慧:毋意,毋必,毋固,毋我”出自《论语·子罕》不凭空猜测;遇事不专断,不任性,可行则行;行事要灵活,不死板;凡事不以“我”为中心,不自以为是,与周围的人群策群力,共同完成任务

。

7　5

高中全程复习方略·数学(RJA版·理科)

2

()解析】令y　【1′=-x+81,′=0得y

(,舍去)当x<9时yx=9或x=-9′>0;

=

当x>9时y故当x=9时函数有极大值,也是最大′<0,值;

即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.

(),令S得x=1,′(x)=00<x<1

3

()()·23x-1x-3,22(1-x)2

(3-x),

S(x)=·2

1-x

22

)·((2x-61-x)-(3-x)·(-2x)()S′x=22

(1-x)()设剪成的小正三角形的边长为x,2

2

()3-x则:S=

1·()··(x+11-x)22

(3-x)(),=0<x<121-x

1时,(),()当x∈(0,)S′x<0Sx递减;31,)当x∈递增;1时,S′(x)>0,S(x)32故当x=1时,S取得最小值.

332())答案:19万件　(2

授课提示:对应学生用书起始页码P43

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

导数在函数单调性方面的应用1.

()利用导数判断函数的单调性;1

利用导数研究函数的单调性　

],]恒成立,求m的取值范围.a∈[-1,1x∈[0,1

【(解题指南】排除法与求导相结合,根据导数与函数1)()由题意只需解不等式F2′(x)>0和F′(x)<0即可得单调性的关系判断.

导数法求函数单调区间的一般步骤2.

第一步:求定义域:求函数y=f(的定义域x)

()利用导数求函数的单调区间;2()已知函数单调性,求参数的范围.3

+1到单调区间;原不等式恒成立可转化为ln≤3ma

x+1x+1)2

(m进一步转化为(+4-m恒成立,lna+x≤32x+1ma

2

4-m)min成立.

第二步:求根:求方程f′(x)=0在定义域内的根

第三步:划分区间:用求得的方程的根划分定义域所在的区间

第四步:定号:确定f在各个区间内的符号′(x)得函数y=f(的单调区间.x)

【()规范解答】选C.当x=0时,排除A.1y=0,

当x>2排除D.π时,sinx>0,y=-2

2∵由y′=

的区间内,y是增函数.

第五步:

结果:求得函数在相应区间上的单调性,即

当f(不含参数时,也可通过解不等式fx)′(x)

11在满足上式的得c-2cosx>0,osx<,x

24

11在满足上式的的由y得c′=-2cosx<0,osx>,x24区间内,y是减函数,

函数的增减区间有无数多∴由余弦函数的周期性知,

个,

2x()()2①F(x)=lnx+2-+1∴B不正确,C正确.

()或f直接得到单调递增(或递减)区间.>0′(x)<0

【】()(例1函数y=x-212011·山东高考)sinx的图象大

致是

2

(　　)

()1x+1-2x12

F′(x)=-=-22

())+2x+2(x+1x+1=

22

()()x+1-2x+2x-3,=22()()()()x+2x+1x+2x+1

()定义域为:-2,-1∪(-1,+∞).

令F得单调增区间为(和′(x)>0,-2,-)+∞)

()(已知f(22012·景德镇模拟)x)=lnx:

)令F得单调减区间为(和(′(x)<0,-,-1-12()()lnx+1≤ln2x+1-m+3am+4即

2

))②不等式f(x+1≤f(2x+1-m+3am+4化为:

2x,)求F(的单调区间;①设F(x)=f(x+2-x)

x+1

2

))②若不等式f(x+1≤f(2x+1-m+3am+4对任意

7　6

x+12

ln≤3ma+4-m.2x+1

还快乐于课堂:学习,不仅仅在于获取知识,它更是一种生活。对孩子来说,是最主要的学习方式。我们不能固执地让学生想到学

,习就是“头悬梁,锥刺股”而应当寻求一种既能让孩子学到知识,又能使孩子快乐成长的途径。让我们还快乐于课堂,全面关注学生对学习的幸福、满意的感受。