开区间上的连续函数

函数的一致连续性

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20 3 11 0年月

安庆师范学院学报 (自然科学版)J u n fAn n a h r ol g ( tr inc o ral qig Te c es C l e Nau al o e Sce e)

No 2003 v.Vo . No. 19 4

第 9卷第 4期

开区间上的连续函数覃运初(池学院数学系，广西宜州 5 6 0 )河 4 3 0

擒

要本文讨论开区间上的连续函数的有界性、一致性、介值性与最值性

关键词有界性；致连续性；值性；一介最值性中囝分类号 0 7 .文献标识码： 14 1 A文章编号 0 7 4 6 ( 0 3 0 - 0 4 - 0 10- 2 020)4 03 2

设函数，(在闭区间[ 6上连续，有 z)口，]则①,(在闭区间[ 6上有界， z)口，]即 M> O V z∈ F 6, l z)≤ M , a,]有厂( l

②,(在闭区间[ h _取到最大值与最小值， z)口， i t:即 zIz∈ F 6, f( ),, z ), a,]使 x。一，厂(:一M, V l且 ∈[ 6,,≤ f(≤ M口，]有， l z)⑧ V∈ m,] c F 6使厂( ) M,∈ a,], c一④ f(在闭区间[ 6上一致连续。 z)口，] 现在我们研究讨论开区间 ( 6上的连续函数具备什么条件时，具有闭区间上连续函数的性质。 n, )也1,( O与，(一 O存在的情况 .口+ ) 6 )定理 1: f(在开区间 ( 6上连续，厂(+ O, 6 O存在，① f(在 ( 6上有界；若 z)口， )且口 )厂(一 )则 z)口， )

② f(在 ( 6上一致连续。 z)口， ) 证明：厂( )厂(令口一口+ O, 6一厂(一 O,厂(在闭区间[ 6上连续，,(在开区间 ( 6 )厂( ) 6 )则 z)口，]故 z)口， )上有界，一致连续。且

若 f(在 ( 6上连续，口+O与厂(一 O至少有一个不存在时， z)开区间 ( 6上不一定有 z)口， )厂( ) 6 ) f(在口， )1

界，不一定连续。例如： ( ) f 一亡在开区间(,) n 6上连续， f z在(,)但 ( ) n 6上无界，且非一致连续。定理 2若 f )开区间， )连续，厂(:在 6上且+ O, )厂

一 O存在， )

①若厂(口+o与 f( - o不是 f(在开区间 ( 6上的上界， f(在 ( 6上取得最大值。②若 ) b ) z)口， )则 z)口， ),(+ O与厂一 O不是 f )开区间， )的下界， f ) ( 6上取得最小值。口 ) )在 6上则在口， )

证明：令厂( ) f口 o, 6一 f 6 o, f(在闭区间[,]连续，以 f(在闭区间①口： (+ ) f() (一 )则 z)口6上所 z)[ 6上取到最大值与最小值，厂( ) f( )是 fe在， )的上界， f ) f()不是 f( 口，]若口与 6不 z) 6上则与 6都 z)在[ 6上的最大值， f(在 ( 6上取得最大值。口，]故 z) n, ) ②同理可证， f ) ( 6上取得最小值。在， )

定理 3若厂(在开区间 ( 6上连续， z) ( 6取到最小值 与最大值 M, V∈亡，,]: z) n, )厂(在 n, )则 , M, l j f F 6使 f( ) f ∈ a,], f一。证明： z) ( 6内取到最小值与最大值，厂(在 n, )则 z, ( 6显然厂(在闭区间 ( 6上连续， z∈ n, ), z) n, )

且厂 )[ ]的最小值与最大值分别为，。故 V∈ F,, c在 z,上 M m加 E tx] F 6,,(), z c a,]有 一。

定理 4:厂 )开区间 ( 6上连续， a+O, b- O存在，分别为厂(在开区间 ( 6上的若在口， ) f( ) f( - )且 z)口， )下界与上界时，则 ( Df( a+ O与厂一O分别为厂(在开区间， )函数值的下确界与上确界。 ) ) z) 6上

收稿日期： O 3 3 7 2 O—0—0“作者简介；覃运初( 9 5 )男， 1 6 -,广西象州人，河池学院数学系讲师，主要从事数学方法论及计算机教育研究.

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( ∈ (口+ O, 6 O ) c ( 6,得，( ) f V,( ) f(一 ),∈口， )使 c一。

③,(在 ( 6上的值域为 (口 o, 6 o ) z)口， ),(+ ),(一 )。证明：①,(=f( - O, 6一，(一 o,,(在闭区间[

6上连续， z)[ 6上取到最 令口) a- ),( ) I - 6 )则 z)口，],(在口，]

大值与最小值，厂(+ o与厂(一 o分别为厂(在开区间 ( 6上的下界与上界。以，( ),( )因 n ) 6 ) z) n, )所。与 6为,(在[,]的最小值与最大值。故，(+ o与，(一O分别为，(在开区间 ( 6上函数值的下确 ) n6上 n ) 6 ) z) n, )界与上确界。 ②由介值中值定理， ∈ (口 o, 6 o ) c E 6,,( ) V,(+ ),(~ ),∈ a,]有 c一。③由②知道， z) ( 6上的值域为 (口 O, 6 O ) f(在口， ),(+ ) f(一 )。

2当，(+ O与，(— 0不存在时 .口 ) 6 )定理 5若，(在开区间 ( 6上连续，妨设 D一{ z)I: z)口， )不 f( X∈ ( 6,—i f M= s p,—口， ) m n D, uD Mlm f(,— lm f( ), 2 l f(,一 l f(,① i x) ml i x M一 i a r z) m2 i a r z)则. .

M 1M 2 1m2限时， ) ( 6有界。,,,有 f(在口， )

十

t

十

x- - -b一

O一

② M a M I ) M时， z) ( 6上取到最大值。 x{,< f(在口， )

③若 i fm m2> r n{, ) n时， z) ( 6上取到最小值。 f(在口， )④ V∈ ( l ) c ( 6, f( ) ,,,∈口， )使， c一， D为开区间。即

证明：若 l①,

有限时，为 l f(一 l l f(= M 2 l f(一 l l— m2对于￡一 1 因 i a r z),i a r z)=,i= a r z),i m, o,t

+

一 6一

+

x-- - - b-

> O V∈ (一， )有 m2 1 f(< + 1 V X∈ ( a )有 m1 1 f(< - 1因为 , 6 6,—< z)。 口，+,—< ) 4。 -

,(在闭区间[+,一]连续， z)闭区间[ ) n 6上，(在+, 6 (一阳上存在最大值6有界。 )

与最小值 ma取 —,

M a M+ 1 M 2 1 3,= M i ml 1, 2 1 m, V X∈ ( 6, m< f(< M, f(在 ( x{,+, )m n{一 m—, 3则 )

口， )有 z)即 z)口，

② a{I 2 M时则 0∈口+ ) (< M￣, m十 一警若M x,} M M<, j>,z (口， z+ -一 lm M ( 8 v,有， ) M了.一一

m 1,以 M不是，( ) (口了 )所 z在口，+ )的上确界。v z∈ (一， )有，(< + 上 6 6, z)

了十一 M2 M一

一

(一 )所以 ,

不是厂(在 (一， )的上确界。故 M为厂(在[+,一]的上确界， z) 6 6上 z)口 b上因

,(在[+,一]的值域为闭区间， 为，(在[ ) n 6上故 z) n+,一阳上的最大值。 6③用上面②的类似的证法可知， i fm m> m时， z) ( 6上取到最小值。若 n{, ),(在。, )④ V f (, )因 m= if,= s p, f,∈ ( 6, m￣ f( 1< f,( 2≤ ,妨设 < ∈ m , nD M u D。 口， )有 c)< f)不

c,,(在闭区间[ c]连续，令 m分别为，(在闭区间[ c]的最小值与最大值。有优 因 ) c,上可， ) c,z上≤,(<<,(≤,用其闭区间上连续函数介质性定理， c[ tc] ( 6,,( ) c) c)应 ∈ c,z c n, )有 c一，由的任意性，知， ) ( 6上的值域闭区间，]显，(在 n, ) 。,(在 ( 6上存在最大值与最小值时，域为 z) n, )值闭区间[,] m 。定理 6:,(在开区间 ( 6上连续，,(+ o与，(一 o不存在，,(在开区间 ( 6上非若 z)口， )但口 ) 6 )则 z)口， ),一

致连续。 证明： l若 i mf(￣存在， j e> O, > 0, x)则 o V3

I 2 ( 6有，一口，一口，,∈口， ) J< 2<

一 2<, l

有

I X ) f( I c,,(在闭 V 1 a,]非一致连续。同理， f( 1 - x )> 0故 )￣9E 6上若,

,(不存在， )开区间 )厂(在

6上非一致连续。 ) 定理 7:,(在开区间 ( 6上一致连续，,(+ O, b O X- E (定理 6可证 )若 )口， )则口 ) f( - )f s。由￣

[考

文献]参[]刘玉琏， 1傅仁.数学分析讲义[ . M]北京：高等教育出版社，9 5 19.

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